WisFaq!

Complexe getallen

ik heb van school deze vraag opgekregen: geef een voorbeeld van een derdegraadsvergelijking (ax³+bx²+cx+d) waarvan zeker een oplossing een complex getal is, vergeet de tekening niet!
Nu weet ik hoe ik dat moet doen, maar ik begrijp niet wat ze bedoelen met vergeet de tekeking niet?
Kunnen jullie nog een voorbeeld geven van een derdegraadsvergelijking waarbij de complexe getallen bij het antwoord hele getallen zijn,
Zo heb ik een vergelijking: x³-3x²+9x-7
ik heb als antwoorden gekregen x=1, x=2+2,45i x=2-2,45i
klopt dit? maar zoals je ziet zijn er bij de complexe getallen geen hele getallen uitgekomen.
Ik hoop dat uw mij kan helpen
groetjes sanne

sanne
28-8-2003

Antwoord

Op je vorige vraag was inmiddels een reactie binnengekomen... kijk maar eens op Re: Derdegraadsvergelijking .

Met de tekening bedoelen ze waarschijnlijk dat, als je zo'n vergelijking gevonden hebt, je even een tekening moet maken als bij bovenstaand antwoord. Een voorbeeld van complexe oplossingen met 'gehele getallen' staat er ook...

Je oplossing van x³-3x²+9x-7=0 klopt niet helemaal. In ieder geval is x=1 een oplossing....
Dus krijgen we:
(x-1)(......)=x³-3x²+9x-7
Dat levert (x-1)(x²-2x+7)=0
x²-2x+7=0 oplossen met de ABC-formule levert:
D=(-2)²-4·1·7=4-28=-24
x_1,2=(2±Ö-24)/2=1±iÖ6

Volgens mij ben je dan weer een stuk verder...

Er is trouwens een handige manier om een derdegraadsvergelijking te maken die een beetje 'leuk' uitkomt... begin gewoon met de oplossingen!

Voorbeeld
Ik kies x=2, x=2-3i en x=2+3i
(met die laatste twee is iets bijzonders aan de hand, maar dat kan je ook in bovenstaande vraag nalezen).
Nu geldt dat de vergelijking (x-2)(x-(2-3i))(x-(2+3i))=0 de 3 gekozen oplossingen moet geven... als je dan de haakjes wegwerkt... krijg je een derdegraadsvergelijking die 'mooie' oplossingen geeft... handig wel.
Als antwoord zou je x³-6x²+21x-26=0 moeten krijgen.

WvR
28-8-2003