WisFaq!

Integreren goniometrische functies

Sorry dat mijn vraag de eerste keer onduidelijk was.
Hier is ze opnieuw.
Kan U mij helpen met het oplossen van volgende integralen. Ik probeer mijn dochter te helpen bij de voorbereiding van een herexamen in haar laatste jaar middelbaar.

1. 1/(sin²x.cos²x)

2. sin⁵(x)/cos²x

3. 1/(1+sin(x)) (op te lossen met substitutie t=tg(x/2))

Bij voorbaat dank

Jim Van Leemput
28-8-2003

Antwoord

Hallo Jim,

2. Als je van die sin⁵(x) één sinus afzondert, dan kan je die sin(x)dx schrijven als -d(cosx). Wat schiet er dan nog over van het integrandum? een cos² in de noemer, en een sin⁴ in de teller.
Die sin⁴=sin²²(x)=(1-cos²(x))²=1-2cos²(x)+cos⁴(x).
Met andere woorden: het hele integrandum is nu een breuk van veeltermen in cos(x) geworden, d(cosx). Je kan voor het gemak cosx=u stellen en dan zou de verdere oplossing geen probleem meer mogen geven.

3. Die substitutie is een veel voorkomende om goniometrische integralen op te lossen. De omzettingen zijn:
dx = 2dt/(1+t²)
sinx=2t/(1+t²)
tgx=2t/(1-t²)
cosx=(1-t²)/(1+t²)
Dus òdx/(1+sinx) = ò^2dt/_{(1+t²)(1+^2t/1+t²}
= ò^2dt/_1+t²+2t (dat komt er nadat je die 1 + (2t)/(1+t²) op één noemer hebt gebracht).
= ò2dt/(t+1)², en dat is weer een zeer eenvoudige want je kan ipv dt net zo goed d(t+1) schrijven.

1. Kan je eigenlijk ook met een dergelijke t-substitutie doen, want er komt dan gegarandeerd een breuk uit van veeltermen in t, en die kan je altijd oplossen. Maar dat zou nogal omslachtig kunnen zijn, dus proberen we een kortere te vinden.
sin(x)cos(x) doet veel denken aan de dubbelehoekformule voor de sinus. Dus die integraal is eigenlijk gelijk aan:
ò^4dx/_sin²(2x)
Noem u=2x dus 2dx=du en dan kan je nu wel weer de t-formules gebruiken zonder al te veel werk: stel t=tg(u/2) en je merkt dat je weer een eenvoudige integraal bekomt.

NB: vergeet niet telkens de substitutie die je doorvoert te noteren, en die dan te gebruiken om het eindantwoord weer in x te zetten.

Veel succes bij het herexamen, en mochten er nog problemen zijn, stuur dan gerust iets terug.

Groeten,
Christophe.

Christophe
28-8-2003