WisFaq!

Metrische ruimten

We moeten rechtstreeks bewijzen dat de volgende metrieken niet equivalent zijn:
1) d(x,y)= |x-y|/(1+|x-y|)
2) d(x,y)= |x/(1+|x|)-y/(1+|y||
De twee metrieken zijn niet equivalent als ze niet dezelfde cauchyrijen hebben.
Ik weet dat in de eerste metriek niet elke rij een limiet heeft in R bv. rij (x_n)=n voor elke n. Deze rij is dan een cauchyrij maar ze heeft geen limiet in R want er bestaat geen getal a waarvoor a/(1+|a|)=1.
In de tweede metriek heeft wel elke cauchyrij een limiet.
Hoe kunnen we nu echter rechtstreeks aantonen dat de twee metrieken niet equivalent zijn?

Vriendelijke groeten
Bjorn

Bjorn
26-8-2003

Antwoord

Hallo Bjorn,

Ik ben het niet met je eens wat het voorbeeld betreft.
De rij (Xn) met Xn = n is geen Cauchyrij in de eerste metriek, want bv d(Xn,Xn+1) = 1/2 voor alle n en dat kan niet bij een Cauchyrij.
In de tweede metriek is deze rij echter wel een C-rij.
Dit voorbeeld zegt dan meteen dat de beide metrieken niet dezelfde c-rijen hebben.
Als je er nog even verder over nadenkt zie je ook dat de eerste metriek equivalent is met de gewone metriek in de reele getallen, d(x,y) = |x - y| In deze metriek is iedere C-rij convergent.
In de tweede metriek zijn er meer C-rijen, bv rijen (Xn ) waarbij Xn naar oneindig wegloopt, deze hebben dan geen limiet in R.
Succes ermee. gegroet

JCS
31-8-2003