WisFaq!

Re: Fractal van Von Koch

Op deze wijze -en dat was de kern van mijn vraag - kan ik mij dat niet als oneindig lang voorstellen. Zijn de lijnsegmentjes oneindig lang omdat na in principe 'oneindig' veel fasen, deze geidentificeerd worden als punten, en op die wijze krijg je dan het equivalent met reële getallen dat er oneindig veel zijn tussen 0 en 1. Is mijn interpretatie juist?

William
24-8-2003

Antwoord

Uitgaande van een gelijkzijdige driehoek, K₁, (waarvan we de lengte van de zijden gelijk stellen aan 1) ontstaat het Koch-eiland door elke zijde (lijnstuk) in de opeenvolgende figuren, K₁, K₂, K₃, ..., K_n, ..., te vervangen door een gebroken lijnstuk dat 4/3 maal zo lang is.
Dus Omtrek(K_n+1) = 4/3.Omtrek(K_n)
De grens van het Koch-eiland (de Koch-fractaal) is de limiet voor n naar oneindig.
Voor de opvolgende benaderingen van de omtrek van het Koch-eiland krijgen we dus de (meetkundige) rij:
1, 4/3, (4/3)², (4/3)³, ...
En deze rij is divergent.

dk
24-8-2003