WisFaq!

Toon aan: 0.5<=1(n+1)....

he ik heb een vraag..en ik heb een antwoord nodig.. ik hoop dat jullie kunnen helpen......
toon aan:
1/2 = 1/(n+1) +1/(n+2)+...+1/(n+n) 1

bonito
22-8-2003

Antwoord

Hallo,
Noem de uitdrukking in het midden f(n)
f(n) - f(n+1) = 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/(2n+2)
= (4n²+6n+2-2n²-4n-2-2n²-3n-1)/(n+1)(2n+1)(2n+2)
= (-n-1)/(...)
0
Met andere woorden: de middelste uitdrukking stijgt steeds maar. Als je dus nagaat dat voor n=2 geldt dat 1/2 = f(2)
(en dat is correct want 1/2 7/12) is de linkse ongelijkheid al in orde.
(Controle: f(2)=7/12=35/60 en f(3)=37/60, dus dat kan kloppen)
Dan de rechtse ongelijkheid:
f(n) bestaat uit n termen, die allemaal kleiner zijn dan 1/n, want de noemer is groter dan n.
Dus f(n) n*1/n = 1, wat te bewijzen was.

Groeten,
Christophe.

Christophe
22-8-2003