WisFaq!

Nog een congruentieafbeelding

De congruentieafbeelding F heeft geen dekpunten. Verder is gegeven dat F(4,2)=(2,8) en F(-2,0)=(4,2)
Bereken de transformatieformules en omschrijf welk soort afbeelding F is en geef bijzonderheden zoals centrum,spiegelas etc.
Ik heb een tekeningetje gemaakt en vond punt(0,4) als snijpunt van de middelloodlijnen.
En geen dekpunten vertelt mij dat het om een translatie gaat of schuifspiegeling . Maar hoe los ik deze vraag nou netjes op???

charlotte
22-8-2003

Antwoord

Hoi,

Je kan op een tekeningetje inderdaad zien de rotatie R over q=90° met centrum c(0,4) ons aardig in de buurt brengt. Het probleem is dat R wel een dekpunt heeft: c zelf.. We kunnen dit ongemak fiksen door asspiegelingen toe te voegen.
Noem S1 de rechte door (-2,0) en (4,2) en S2 de rechte door (4,2) en (2,8). We kunnen dan F=R o S1 of F=S2 o R of zelfs F=S2 o R o S1 nemen. Volgens mij hebben deze drie kandidaten geen dekpunten en zijn het dus geldige oplossingen.

Je weet dat je een rotatie kan schrijven als 2 asspiegelingen door het centrum onder een hoek q/2. Onze drie kandidaten voor F zijn dan samenstellingen van 3 of 4 asspiegelingen. Je kan deze dan hercombineren tot puntspiegelingen, verschuivingen, … Zo kan je op een eenvoudiger manier de transformatieformules opstellen.

We bekijken als voorbeeld het geval F=S2 o R o S1. We ontbinden R=SR2 o SR1 met SR1: rechte door (-2,0) en (2,8) en SR2: loodlijn uit c op S1. (We hadden evengoed SR1: rechte door c en (4,2) en SR2: loodlijn uit c op S2 kunnen nemen, maar de eerste ontbinding leidt makkelijker tot formules). We hebben dus dat F= S2 o SR2 o SR1 o S1. We zien dat SR2 evenwijdig is met S2. T=S2 o SR2 is dus een verschuiving, namelijk over t(6,2). De hoek tussen SR2 en S2 is 45°, zodat R1=S2 o SR2 een rotatie is over 90° om (-2,0).

Wat de transformatieformules betreft: een rotatie R rond c over q beeldt een punt u af op v, zodat cu=A.cv of u-c=A.(v-c), zodat u=c+A.(v-c) met A=[[cos(q) -sin(q)][sin(q) cos(q)]]. Hiermee kan je dan de transformatieformule voor R1 opstellen en daarmee dan ook voor F. Het rekenwerk laat ik aan jou over.

Groetjes,
Johan

andros
25-8-2003