WisFaq!

Re: Re: Tweede orde

Hallo, ik ben net terug (wel een beetje bruiner dan voordien)
Bedankt voor je uitgebreide antwoord.

Eigenlijk heb ik nog altijd geen eenduidig antwoord op mijn eerste vraag gekregen.

Bij d2u(x)/dx + k2u(x) = 0

Je zei dat de oplossing daarop reëel is (kx en -kx).
Maar in het boek waar ik mee bezig ben (ik ben geïnteresseerd in quantumfysica, maar ga pas dit jaar naar de unief) staat bij die vergelijking één keer dat
u(x)= A cos (kx) + B sin (kx) (hoe komt het trouwens dat de reële goniometrische functies vervangen kunnen worden door imaginaire functies?)

en de andere keer staat er dat de oplossing Aexp(kx) + Bexp(-kx) is.

Hoe zit dat precies in elkaar?

serge R
18-8-2003

Antwoord

1) u"-k²u=0
karakteristieke veelterm: z²-k²=0 - z=k of z=-k
oplossing: u1(x) = A.exp(-kx)+B.exp(+kx)

2) u"+k²u=0
karakteristieke veelterm: z²+k²=0 - z=ik of z=-ik
oplossing: u2(x) = C.exp(-ikx)+D.exp(ikx)

Aangezien sin(kx) en cos(kx) zelf lineaire combinaties (*) zijn van exp(-ikx) en exp(ikx) kan je dus ook schrijven dat u2(x)=E.sin(kx)+F.cos(kx).

Het verschil tussen beide vergelijkingen is dat in 1) de coefficient van u zeker negatief is, waar hij in 2) zeker positief is (door het kwadraat). Door die coefficient op die manier te noteren weet je zeker in welk geval je je bevindt, wat de waarde van k ook weze.

In jouw boek zal niet staan dat de oplossing nu eens de ene dan eens de andere is. Het zal wel degelijk gaan om een andere vergelijking.

(*)
sin(kx) = (1/2i)[exp(ikx)-exp(-ikx)]
cos(kx) = (1/2)[exp(ikx)+exp(-ikx)]

cl
18-8-2003