WisFaq!

Berekening optimale testgroepsgrootte

Onderstaande vraag zou voldoende gegevens moeten aanleveren om tot het verwachte aantal tests te komen. Ik raak er echter niet uit. Kunnen jullie me eventueel op weg zetten?

Een onderdeel van de militaire keuring in de VS bestond uit een bloedonderzoek naar de geslachtsziekte syfilis. Bij het laboratoriumonderzoek kan een belangrijke besparing plaatsvinden door de bloedmonsters van een aantal mannen te vermengen en dit totale mengsel te onderzoeken.

Als de reactie van dit totaal negatief is, is geen van de personen die een bijdrage leverde tot dit mengsel besmet. Is de reactie positief dan zal een bloedmonster van elke persoon die een bijdrage leverde tot het monster afzonderlijk worden onderzocht om na te gaan wie besmet is.

Volgens de Amerikaanse keuringsadministratie bedroeg het percentage syfilis-lijders in de jaren 40-50 ongeveer 5%. Stel dat er 10000 mannen gekeurd moesten worden. Het probleem waarvoor de keuringsdienst zich in 1940 gesteld zag was: hoeveel bloedmonsters moeten er steeds vermengd worden om zo weinig mogelijk tests te hoeven uitvoeren.

1. Bereken de te verwachten aantal uit te voeren tests als er in groepen van 10 personen getest wordt.
2. Wat is de optimale testgroepgrootte?

b) Lijkt me te vinden als je aan a) raakt, maar ik heb geen idee hoe je met de gegevens tot de verwachte aantal tests raakt voor groepen van 10 personen... Kan je daar eventueel wat uitleg rond geven?

Moderne Wiskunde - complexe opdrachten 5

S
16-8-2003

Antwoord

a)
Eens kijken een groep van 10 personen... een kans van 0,05 op besmetting... als er minimaal één besmet is dan moet je 10 testen uitvoeren... zo niet... dan ben je klaar...

Dit is een binomiaal kansprobleem:
X: aantal besmet
p=0,05
n=10

P(X=0)=0,95¹⁰0,5987
P(minstens 1 besmet)=1-0,5987=0,4013

Je moet in ieder geval 1000 testen doen voor 10.000 mannen. Je verwacht dat je bij ongeveer 400 van deze 1000 testen je opnieuw 10 mannen opnieuw moet testen. Dat zijn dan nog eens 4000 tests. Dus in totaal ongeveer 5000.

E(aantal testen)=1000 + 1000·0,4013·105000

b)
Nu het algemene geval:
Noem de groepsgrootte maar even g.

X: aantal besmet
p=0,05
n=g
P(X=0)=0,95^g
P(minstens 1 besmet)=1-0,95^g

E(aantal tests)=10.000/g + 10.000/g·(1-0,95^g)·g
E(aantal tests)=10.000/g + 10.000 - 10.000·0,95^g

Optimale groepsgrootte is die groepsgrootte met de minste tests, dus minimaliseren die handel! Omdat het zo'n fijne functie is kan je dat handig met een GR doen of een programma... Zie Numeriek oplossen van vergelijkingen


Ik kom dan uit op een minimum bij g5. Je moet dan om en nabij 4260 tests doen (naar verwachting).

WvR
16-8-2003