WisFaq!

Examensom

Het volgende is een examensom van de TU Delft, van ongeveer 6 weken geleden, en deze snap ik niet helemaal, Volgende week is er weer een examen wiskunde en voor dat wil ik het wel snappen, kunt u deze laten zien? In KLEINE stapjes, want vooral met dat primitiveren wil het maar niet lukken, als het goed is heeft men niet de substitutieregel nodig want dat hoorde niet tot de leerstof.

De functie f gegeven door fp(x)=2cosx(sin²x-p) waarbij x [0,2p] Hiernaast is de grafiek van f1 getekend(met grm tekenen)

a)De lijn y=1/4 snijdt de grafiek van f1 in de punten A en B, bereken de lengte van het lijnstuk AB ?

b)Bereken de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van f1 en de x-as.

c) Bepaal de waarden van p waarvoor fp precies 6 nulpunten heeft ( Hoe dit moet vind ik het moeilijkste )

Timmy
13-8-2003

Antwoord

Snap je dat met f1 bedoeld wordt, dat je in de formule voor fp nu voor p de waarde 1 moet invullen?
Het gaat nu dus om de functie
f1(x) = 2·cos(x)·(sin²(x)-1)
De punten A en B vind je door de vergelijking
f1(x) = ¹/₄
op te lossen.
De truc in dit geval (je moet er maar net op komen) is: gebruik maken van de formule:
sin²(x) + cos²(x) = 1, ofwel sin²(x) - 1 = -cos²(x)
Daardoor komt in de vergelijking alleen nog maar cos(x) voor als onbekende, dus die kun je even t noemen.
Dus: 2·t·(-t²) = ¹/₄
ofwel t³ = -1/8, dus t=-¹/₂
dus cos(x) = -¹/₂, wat op het gegeven domein de oplossingen
x = 2p/3 en x = 4p/3 heeft.
Dit zijn dus de x-coördinaten van de punten A en B. A en B liggen beide op hoogte ¹/₄, zodat de lengte van het lijnstuk AB gelijk is aan het verschil van deze coördinaten, dus 2p/3.
Vraag b.
Eerst even de grenzen berekenen, door te kijken waar de grafiek van f1 de x-as snijdt, ofwel: wanneer f1(x)=0.
Met dezelfde truc als hierboven vind je als oplossing t=0, dus x = p/2 of x = 3p/2.
Dan kijk je even naar de grafiek om te zien of deze boven of onder de x-as ligt, en concludeer vervolgens dat de gevraagde oppervlakte gelijk is aan de integraal van f1 tussen de gevonden grenzen.
Je schrijft dat de substitutieregel niet gebruikt mag worden. Dat wordt lastig, want dat betekent dat je zomaar moet 'zien' dat een primitieve van f1 gelijk is aan
2/3sin³(x) - 2sin(x). De controle hiervan door te differentieren is niet zo moeilijk, als je aan de kettingregel denkt, maar het vereist toch wel enige oefening om deze integraal zomaar te zien.
Uitwerking:
ò2cos(x)(sin²(x)-1)dx = [2/3sin³(x) - 2sin(x)].
bovengrens invullen: 4/3
ondergrens invullen: -4/3
aftrekken: 8/3 is dus de oppervlakte.
Vraag c:
fp heeft altijd nulpunten voor de waarden van x waarvoor cos(x)=0, ofwel: bij x=p/2 of x=3p/2.
De andere vier nulpunten moeten dus afkomstig zijn van de waarden van x waarvoor sin²(x)-p = 0, en dat moeten dan ook nog andere waarden zijn dan p/2 of 3p/2.
dus: sin²(x) = p
In elk geval moet p positief zijn.
sin(x) = Öp of sin(x) = -Öp
Dit moeten vier verschillende oplossingen worden, niet gelijk aan p/2 of 3p/2.
Dit is altijd het geval als 0p1.
groet,

Anneke
13-8-2003