WisFaq!

Primitiveren

Deze opgaven begrijp ik totaal niet, kunt u deze behandelen ?

Vind een primitive door te raden of door de gonio formules te gebruiken ?

a) 3sin²(¹/₂x)
b)(sinx + cosx)²
c) e^-x(sinx + cos x)

Er wordt ook gezegd dat men in het volgende hf methodes leert om de primitiven systematisch te vinden, is dat makkelijk ? Want ik snap dat raden niet zo goed en het kost me vaak veel tijd om de primitive eindelijk te vinden. Dus ik zou erg blij zijn als men snel en systematisch de primitiven kan bepalen. Maar zover ben ik nog niet.

Alvast bedankt.

Zafarpour
12-8-2003

Antwoord

Vaak moet je de gonio-trucendoos opentrekken.
Je weet waarschijnlijk wèl wat de primitieve is van sinx, cosx, sin(ax), cos(ax). (met a willekeurige constante)
Van sin²ax en/of cos²ax weet je dat op voorhand niet.

echter:
sin²x+cos²x=1

cos2x=cos²x-sin²x
.....=1-2sin²x
.....=2cos²x-1

sin2x=2.sinx.cosx

hiermee moet je een eind komen.
nl je eerste opgave: 3sin²(¹/₂x)
je weet uit het bovenstaande dat sin²x=¹/₂-¹/₂cos2x
DUS sin²(¹/₂x)=¹/₂-¹/₂cosx
dus 3sin²(¹/₂x)=3/2 - (3/2).cosx
hiervan kun je wel de primitieve bepalen.

tweede opgave:
(sinx+cosx)²=sin²x+ 2sinxcosx + cos²x
-Hoe kun je het stuk 2sinxcosx schrijven?
-En hoe kun je het stuk sin²x+cos²x schrijven?
....
probeer nu zelf eerst weer eens verder.

derde opgave:
-e^-xcosx
(zie http://integrals.wolfram.com/ )

Dat "systematisch vinden van de primitieve" zou ik ook maar met een korreltje zout nemen!
Je kunt namelijk WEL systematisch de afgeleide van een willekeurige functie vinden. Hoe ingewikkeld ook.
Maar met de primitieve is dat net wat anders.
Er zijn namelijk functies waarvan de primitieve niet te bepalen is. En andere functies waarvoor je hele ruige wiskundige technieken nodig hebt.
Zoals je weet is primitiveren het omgekeerde uitvoeren van differentieren.
In de beginfase van integraalrekening krijg je functies waarvan je de primitieve moet 'gokken' (wel een gerichte gok) en dat je dan vervolgens de afgeleide van je probeersel neemt om te kijken of je de oorspronkelijke functie weer terugkrijgt. Je zit er vaak slechts een constante naast.

vb. wat is de primitieve van cos3x?
Omdat je weet dat de primitieve van cosx gelijk is aan sinx, is je best-guess nu dus dat de prim. van cos3x gelijk zal zijn aan sin3x.
ECHTER... je moet altijd je guess verifieren door er weer de afgeleide van te nemen.
Wat is de afgeleide van sin3x? juist: 3cos3x.
(vanwege de kettingregel)
Je zat dus een factor 3 te groot.
De primitieve van cos3x is dus (1/3)sin3x.

Later kom je ingewikkelder methoden tegen zoals partieel integreren, en werken met differentialen. Maar met de voorgenoemde methode kom je in de meeste gevallen al een heel eind.

groeten,
martijn

mg
12-8-2003