WisFaq!

Wat is de algemene oplossing van deze differentiaal vergelijking?

wat is de algemene oplossing van een dif.verg. als deze?
kortom, hoe bewijs ik dat algm. opl. hiervan is:

y(t) = b/a + C·e^-a·t

S. Hoekman
12-8-2003

Antwoord

De algemene techniek voor lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coefficienten

homogene vergelijking: y' + ay = 0
karakteristieke vergelijking: z + a = 0 - nulpunt: z = -a
algemene oplossing van de homogene vergelijking: y = C.exp(-at)

volledige vergelijking: y' + ay = b
een particuliere oplossing: y = b/a (uit de vorm van het rechterlid volgt dat er zeker een particuliere oplossing bestaat in de vorm van een constante)

algemene oplossing = homogene oplossing + particuliere oplossing

Techniek voor lineaire eerste-orde vergelijkingen (niet noodzakelijk constante coefficienten)

Vermenigvuldig de volledige vergelijking met exp(at)

y'.exp(at) + a.exp(at).y = b.exp(at)
(d/dt)(y.exp(at)) = b.exp(at)
y.exp(at) = (b/a).exp(at) + C
y = (b/a) + C.exp(-at)

cl
12-8-2003