WisFaq!

Raken en loodrecht snijden

Hoi,

Het volgende is een vwo examensom, ik heb geen uitwerkingen ervan wel de eindantwoord namelijk p=1 en p=-1 maar dat krijg ik niet als eindantwoord, wilt u deze behandelen ?

Voor elke p E R de functie fp met domein -1/2p,1/2p
gegeven door x-- p/(cos²x) + 2tanx

gevr: Voor welke p geldt: de grafiek van fp raakt de x-as ?

Met vriendelijk dank.

David
12-8-2003

Antwoord

De grafiek moet de x-as raken. Dat betekent twee dingen:
- de functiewaarde bij een zekere x moet 0 zijn
- de afgeleide bij diezelfde x moet ook 0 zijn.
De functiewaarde gelijknamig maken en teller 0 stellen levert:
p + 2sin(x)cos(x) = 0, ofwel p = -2sin(x)cos(x)
Ik neem aan dat het differentieren geen probleem is.
De afgeleide is 2p·sin(x)/cos³(x) + 2/cos²(x)
Gelijknamig maken en de teller 0 stellen levert:
p·sin(x) + cos(x) = 0, ofwel sin(x)/cos(x) = -1/p,

Deze twee resultaten samen geeft:
sin(x)/cos(x) = 1/2sin(x)cos(x)
gelijknamig maken en teller nulstellen geeft:
2sin²(x) = 1, dus sin²(x) = ¹/₂
Hiermee kun je de waarden voor x op het gegeven domein berekenen, en vervolgens uit een van de resultaten hierboven ook de waarden voor p. Inderdaad komt er dus uit: p=1 of p=-1
groet,

Anneke
12-8-2003