WisFaq!

Fourierspectrum

De functie f is periodiek met periode 2p en continu afleidbaar in . Haar discreet complex fourierspectrum is {ck : k Î }. (ck=1/(2p)·Öf(t)·exp(-Ikt),t=-p..p)
Bepaal het discreet complex fourierspectrum van de functie f'.

Zou je aub een tip kunnen geven hoe ik hieraan moet beginnen?
En een eventuele uitwerking, want ik geraak er nie uit.

Kelly
11-8-2003

Antwoord

Stel het fourierspectrum van de functie f' voor door de getallen d_k.

d_k = (1/2p)_-pò^+pf'(t).exp(-ikt)dt

Partieel integreren geeft

d_k = (1/2p)_-pò^+pexp(-ikt)d[f(t)]

= (1/2p)[ [f(t).exp(-ikt)]_-p^+p - _-pò^+pf(t)d[exp(-ikt) ]

= (1/2p)[ [f(t).exp(-ikt)]_-p^+p + ik._-pò^+pf(t)exp(-ikt)dt ]

De eerste term hierin is nul wegens de periodiciteit van f(t) en het feit dat exp(-ikp) en exp(+ikp) gelijk zijn aan -1 en +1 of omgekeerd. Er blijft dus over dat

d_k = (1/2p)(ik)_-pò^+pexp(-ikt)d[f(t)] = ik c_k

Een gelijkaardige en iets rechtstreeksere manier bestaat er in f(t) te schrijven als som van discrete fouriercomponenten en die uitdrukking af te leiden, al zit je daar misschien met de extra vraag aan te tonen of die termsgewijze afleiding wel is toegestaan.

cl
11-8-2003