WisFaq!

Differentieerbaarheid

Hallo wisfaq,

Kan u laten zien hoe de volgende oefening gedaan moet worden, ik snap het maar gedeeltelijk.

1) f(x)= (x²-3x)/(x+1)

a) onderzoek f
b) het gedeelte van de grafiek van f rechts van de lijn x= -2 wordt vervangen door de grafiek van een functie van de vorm y= a.e^x+ b en wel zo, dat er een op R differentieerbare functie g ontstaat:


g(x)= (x²-3x)/(x+1) voor x -2

g(x)= a.e^(x)+ b voor x -2

Bereken a en b ????

Bijvoorbaat dank

Zafarpour
7-8-2003

Antwoord

Het onderzoek van een functie (opg. a) houdt achtereenvolgens in:
* bepalen Domein van f (D_f)
* berekenen van de nulpunten (f(x)=0) en een tekenoverzicht maken
* berekenen van de afgeleide (f'(x)), en hiermee de extremen van de grafiek bepalen (f'(x)=0) en een tekenoverzicht van f'
* bepalen evt. asymptoten (hor. /vert. /scheve)
* tekenen van de grafiek van f
* bepalen van het bereik B_f

Bij opgave b. gaat het er dus om dat je ter plekke x=-2 TWEE verschillende functies "naadloos aan elkaar plakt".
Wiskundig vertaald, moet er in x=-2 dan voldaan zijn aan twee eisen.
* Ten eerste continuïteit, ofwel
lim x-2 f(x) = lim x¯-2 f(x) = f(-2) ;
* Ten tweede differentieerbaarheid, ofwel
lim x-2 f'(x) = lim x¯-2 f'(x)

Eerst de eerste eis:
lim x-2 f(x) = lim x-2 (x²-3x)/(x+1) = -6
lim x¯-2 f(x) = lim x¯-2 a.e^x+b = a.e^-2+b
f(-2)=-6
hieruit volgt: a.e^-2+b=-6

voor de tweede eis moeten we eerst even f'(x) en g'(x) uitrekenen:
x-2: f'(x)= (x²+2x-3)/(x+1)²
x-2: g'(x)= a.e^x

lim x-2 f'(x) = -3
lim x¯-2 f'(x) = a.e^-2
Wegens eis 2 is a.e^-2 = -3 Þ a=-3.e²

Vullen we dit in in de uitkomst van de eerste eis
(a.e^-2+b=-6) krijgen we:
-3.e².e^-2+b=-6 Û -3 + b = -6 Û b=-3

zodoende hebben we de waarden voor a en b gevonden.
(als ik geen rekenfouten gemaakt heb, tenminste!)

groeten,
martijn

mg
7-8-2003