WisFaq!

Impliciet differentieren

als je de opgave krijgt:bepaal d2y/dx2 langs de kromme: x^2+y^2=1

hoe moet je dit dan aanpakken?

Edwin
6-8-2003

Antwoord

x²+y²=1 is geen functie. Je zou er een functie van kunnen maken door te proberen die gelijkheid om te zetten in een vorm y=f(x), maar daar moet je dan al meteen onderscheid maken in een geval y0 en y0. Meer nog, het is niet altijd mogelijk de inversie in een gesloten vorm uit te voeren.

Daar komt nu de impliciete diffentiatie ter hulp. Beschouw y als functie van x, maar laat de gegeven uitdrukking staan zoals ze staat. Aangezien ze geldt voor alle x kunnen we nu de differentiatie doorvoeren. Twee differentiatiestappen na elkaar leveren

x² + y²(x) = 1 (A)
2x + 2y(x)y'(x) = 0 (B)
2 + 2(y'(x)²+y(x)y"(x)) = 0 (C)

Uit (B) volgt dat y'(x)=-x/y(x)
Uit (C) volgt dat y"(x)=-(1+y'²(x))/y(x)=-(x²+y²(x))/y³(x)=-1/y³(x)

Op punten (x,y) op de gegeven kromme geldt dus dat d²y/dx² = -1/y³, zowel voor punten met y0 als y0.

Controleer zelf door y als f(x) te schrijven en de afleiding op f(x) uit te voeren. Vergeet niet de gevallen te onderscheiden.

cl
6-8-2003