WisFaq!

Re: Tweede orde

Dank je wel.
Ik ga er niet te veel tijd aan besteden, opmdat ik binnen een uurtje naar Spanje vertrek, maar toch een poging.
Als a[n]pn + ... + a[0] = 0 (kun je daar een beetje meer uitleg over geven?) ontbindbaar is tot een vgl. van tweede graad

Serge
4-8-2003

Antwoord

Misschien brengt een voorbeeld wat duidelijkheid. Wat is de algemene oplossing van de homogene derde-orde differentiaalvergelijking y⁽³⁾-6y⁽²⁾+11y⁽¹⁾-6y=0?

Bepaal de nulpunten van de zogeheten karakteristieke veelterm

z³-6z²+11z-6=0 - z=1 of z=2 of z=3

Elk nulpunt komt nu overeen met een exponentiele term. De oplossing wordt zo

y(x) = Aexp(x)+Bexp(2x)+Cexp(3x)

waarin A,B en C willekeurige constanten zijn. Voor meervoudige wortels met multipliciteit m, komt er voor nog een veelterm voor van de (m-1) de graad, een beetje als veralgemening van de constanten in het vorige voorbeeld. In

y⁽³⁾-6y⁽²⁾+12y⁽¹⁾-8y=0

is z=2 een drievoudig nulpunt van de karakteristieke vergelijking. De algemene oplossing wordt dan gegeven door

y(x)=(Ax²+Bx+C).exp(2x)

Over het vraagje dat ik stelde: als k en -k oplossingen zijn van de karakteristieke vergelijking, die dus van de volgende vorm moet zijn: (z²-k²)(z-r), met r een of ander getal naar keuze. Werk dit uit, en vervang machten van z door afgeleiden van y om de differentiaalvergelijking te bekomen.

Prettige zweetvakantie!

cl
4-8-2003