WisFaq!

Tweede orde

^d2u(x)/_dx + k²u(x) = 0

Is de oplossing hiervan u(x)= A cos (kx) + B sin (kx)
of u(x) = Ae^-kx + Be^kx

En wanneer is de andere een oplossing?

Serge
3-8-2003

Antwoord

Bekijk een willekeurige n-de orde homogene (dus het rechterlid is nul) differentiaalvergelijking met constante coefficienten:

a[n]y⁽ⁿ⁾ + ... + a[0]y = 0

waarbij de exponent duidt op afleiding. Stel een oplossing y=exp(px) voorop. Substitutie in bovenstaande vergelijking leert dan dat het getal p moet voldoen aan de algebraische vergelijking

a[n]pⁿ + ... + a[0] = 0

Dus voor jouw vergelijking zijn de oplossingen p=ik en p=-ik, met i de imaginaire eenheid. Zoals je misschien wel weet zijn (complexe) lineaire combinaties van exp(ikx) en exp(-ikx) eveneens (complexe) lineaire combinaties van cos(kx) en sin(kx). Maar omdat die functies reeel zijn en dus in reele problemen reele constanten voor zich zullen hebben, verkiest men de omzetting van exponentiele naar goniometrische functies.

Snap je nu ook waarom exp(-kx) en exp(kx) oplossingen zijn van de vergelijking y⁽²⁾ - k²y = 0 ?

Denkvraag als huiswerk :) Kan je mij ook een homogene DERDE orde vergelijking geven met constante coefficienten waar Aexp(-kx)+Bexp(kx) oplossingen van zijn (niet DE oplossingen, gewoon oplossingen)? Zet je oplossing anders maar in het antwoord!

cl
4-8-2003