WisFaq!

Re: Het meest dichtbij gelegen punt op een lijn vanaf een punt in 3D

Koen, zou je het volgende willen controleren op correctheid:

Naast het vorige is nu ook gegeven:
- het beginpunt a en eindpunt b van lijn l
- we willen punt f vinden op lijn l vinden

Dan wordt de parametervoorstelling van lijn l = a + lV
waarbij V is de vector van a naar b als volgt:
V = (bx - ax, by - ay, bz - az)
waarbij ax de x coordinaat van a is, etc...

Klopt dit? Of is het gewoon l = a + lb?

Dan de korte afstand t berekenen: t = (p - a)V / V²

En ten slotte: f = a + tV

Marin
26-7-2003

Antwoord

Om een parametervoorstelling te maken heb je een punt op de rechte nodig, en een richtingsvector.

Heb je twee punten gegeven dan maak je een richtingsvector door de vector van het ene punt naar het andere te beschouwen. Dit is het in jouw geval:

a(x_a ,y_a ,z_a)
b(x_b ,y_b ,z_b)

= richtingsvector u(x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a) = u(u₁,u₂,u₃)

Neem bijvoorbeedl het punt a en de richting u. De parametervoorstelling is:

x=x_a + t·u₁
y=y_a + t·u₂
z=z_a + t·u₃


Je wil de korste afstand tussen het punt p(p₁,p₂,p₃) en de lijn.

Je berekent de afstand tot een willekeurig punt op de lijn:

Ö((p₁-x)²+(p₂-y)²+(p₃-z)²)

de x, y en z zijn die van de parametervoorstelling. Vul die in en je krijgt een vergelijking in t (de parameter). alle andere waarden in de vergelijking zijn gekend. Leid deze vergelijking af naar t en stel het resultaat gelijk aan 0. Berekent t. Stop die waarde van t in de parametervoorstelling en je hebt het gezochte punt.

Het lijkt theoretisch misschien wat ingewikkeld maar het is zeer eenvoudig. Lees desnoods de uitleg een aantal keren opnieuw.


Koen

km
26-7-2003