WisFaq!

Dekpunten

Wat wordt er nu precies bedoelt met de term dekpunten? Kunnen jullie daarvan een voorbeeld geven?

Femke
14-7-2003

Antwoord

Dekpunten van een functie f zijn punten x waarvoor x=f(x). Het is een term die opduikt wanneer je een functie itereert (toepast op zichzelf).

Zo zijn 0 en 1 de twee dekpunten van f(x)=x² omdat dat de wortel zijn van de vergelijking x=x². Bekijk nu eens zelf wat er gebeurt als je van 0.5 herhaaldelijk het kwadraat blijft nemen. Doe hetzelfde voor het getal 2.

Blijkbaar is x=0 een 'aantrekkend' dekpunt van f(x)=x², in de zin dat punten in een zekere buurt van 0 zich bij opeenvolgende iteraties willekeurig dicht naar 0 toe begeven.

Aan de andere kant is x=1 een 'afstotend' dekpunt van f(x)=x². Hoe dicht je ook bij 1 begint, herhaald kwadrateren zal je niet willekeurig dicht bij 1 brengen. Integendeel, voor x$<$1 ga je naar 0, voor x$>$1 ga je de oneindigheid in.

Voor continu differentieerbare functies geldt als criterium voor stabiliteit van de iteratie (dus aantrekkende dekpunten) dat

|f'(a)| $<$ 1

waarbij het accent duidt op de afgeleide. Voor onze f(x)=x² geldt dus dat het dekpunt 0 stabiel/aantrekkend is, want |f'(0)| = 0 $<$ 1, het dekpunt 1 is instabiel/afstotend, want |f'(1)| = 2 $>$ 1.

cl
14-7-2003