WisFaq!

2 logaritmen

Hallo, zou u me hiermee willen helpen:
1. berekenen a^(y-z).b^(z-x).c^(x-y), als x=log a; y=log b; z=log c.
2. ik los ò(lnx/x dx) op met substitutie en krijg ln4, maar in de antwoorden staat 2(ln2)^2. Hoe kan ik tot het juiste antwoord komen?
Dank U wel.

karina
9-7-2003

Antwoord

Hallo Karina,

eerst vraag 1:
bedenk dat a^y-z=a^y·a^-z=a^y/a^z en dat b^z-x=b^z·b^-x=b^z/b^x en dat c^x-y=c^x·c^-y=c^x/c^y
dus a^y-z·b^z-x·c^x-y=(a^y/a^z)·(b^z/b^x)·(c^x/c^y). Schrijf nu de termen met dezelfde macht in een breuk - handig, want b^z/a^z=(b/a)^z, enz.
Je product wordt: (a^y/a^z)·(b^z/b^x)·(c^x/c^y)=(b/a)^z·(a/c)^y·(c/b)^x
Vul nu in; x=log(a), y=log(b), z=log(c), zodat
(b/a)^z·(a/c)^y·(c/b)^x=(b/a)^log(c)·(a/c)^log(b)·(c/b)^log(a)=
e^{ln(b/a)log(c)}·e^{ln(a/c)log(b)}·e^{ln(c/b)log(a)}.
Met ln(b/a)^log(c)=log(c)·ln(b/a)=log(c)·(ln(b)-ln(a)), enz. en log(a)=ln(a)/ln(10), enz. krijg je:
e^{ln(b/a)log(c)}·e^{ln(a/c)log(b)}·e^{ln(c/b)log(a)}=
e^{(ln(c)/ln(10))·(ln(b)-ln(a))}·e^{(ln(b)/ln(10))·(ln(a)-ln(c))}·e^{(ln(a)/ln(10))·(ln(c)-ln(b))}=
e^{(1/ln(10))·{ln(b)ln(c)-ln(a)ln(c)+ln(a)ln(b)-ln(c)ln(b)+ln(a)ln(c)-ln(a)ln(b)}}.
De grap (!?) is dat de termen tussen de accolades elkaar paarsgewijs opheffen en dat de som van al die termen 0 (nul) is. Je houdt dus over: e^{(1/ln(10))·0}=e⁰=1.

Vraag 2:
om tot een numerieke uitkomst te geraken heb ik de integratiegrenzen nodig. Helaas heb je die niet gegeven, daarom een paar tips:
substitueer u=ln|x| zodat du/dx=1/x en dus du=(1/x)dx. De integraal gaat dan over in
ò(ln(x)/x)dx=ò(ln|x|·(1/x))dx=òudu (let op! nu veranderen de grenzen mee!)
en òudu=u²/2=(ln²x)/2 (let op! nu veranderen de grenzen opnieuw mee terug zodat je weer de originele integratiegrenzen, onder- en bovenwaarde, in kunt vullen).

Sander
9-7-2003