WisFaq!

Productregel

Hallo,

Kan er mij eens iemand de productregel in woorden uitleggen ik heb
het volgende y=u*v DAN y’=u’v+uv’

Ik heb op het forum iets gelijkaardigs gevonden de kettingregel. Nu dacht ik de afgeleide van u (berekent met vorige traditioneel regels) vermenigvuldigt met het tweede stuk opgeteld met u het eerste stuk vermenigvuldigd met de afgeleide van het tweede stuk. Nu staat juist onder de uitleg een voorbeeld maar dat is hellemaal zoniet opgesteld

Het voorbeeld y=(x²+1)(2x+3)

Y’=2x(2x+3)+(x²+1)2=6x²+6x+2

Hier herken ik mijn uitleg hellemaal niet meer in dus is die waarschijnlijk fout wil wisfaq me even helpen.

Dank bij voorbaat.

Bert F
9-7-2003

Antwoord

Hoi,

De productregel wordt bij 't differentiëren gebruikt om een product te af te leiden, laat f(x) en g(x) functies zijn, dan is (f(x)·g(x))' = f(x)·g'(x) + g(x)·f'(x)

De kettingregel wordt gebruikt indien er een functie "in" de andere functie zit, bijvoorbeeld f(x) = Ö(2x² - 5), dit zijn in feite twee functies, namelijk 2x² - 5 en een wortelfunctie, dus er zit een functie in de wortelfunctie. Ik ga deze functie niet differentiëren, maar het gaat als volgt: stel hulpfuncties u en y op, waarbij u het gedeelte is onder het wortelteken, en y is de wortel van u-functie. Differentieer de u-functie en differentieer de y-functie en vermenigvuldig de twee afgeleide functies, vervang de u in de uitkomst achteraf door de oorspronkelijke functie waaraan u gelijkgesteld was.

Jouw voorbeeld f(x) = (x² + 1)·(2x + 3). Er zijn verschillende mogelijkheden om hiervan de afgeleide te berekenen. Je kunt (x² + 1)·(2x + 3) helemaal uitschrijven en elke term differentiëren of de productregel gebruiken (niet de kettingregel, want er is geen functie "in" een andere functie).

Eerste manier : Volledig uitschrijven
f(x) = (x² + 1)·(2x + 3)
f(x) = 2x³ + 3x² + 2x + 3
f'(x) = (2x³ + 3x² + 2x + 3)' = (2x³)' + (3x²)' + (2x)' + 3'
f'(x) = 2·3x² + 3·2x + 2
f'(x) = 6x² + 6x + 2

Tweede manier : productregel
We gebruiken de regel (f(x)·g(x))' = f(x)·g'(x) + g(x)·f'(x). Waarbij f(x) = x² + 1 en g(x) = 2x + 3
f'(x) = ((x²+1)·(2x+3))' = (x²+1)·(2x+3)' + (2x+3)·(x²+1)'
= 2(x²+1) + 2x·(2x+3) = 2x² + 2 + 4x² + 6x = 6x² + 6x + 2

Ik hoop dat het duidelijk is (indien iets onduidelijk gewoon reageren),

Davy.

Davy
9-7-2003