WisFaq!

Periode

Ik heb die vraag al eens gesteld, maar kreeg om één of andere reden geen antwoord.
Hoe bereken je de periode van een goniometrische functie?
(bijvoorbeeld sin 2x + sin 3x + sin 5x)

Serge R
7-7-2003

Antwoord

Hallo Serge,

Noem de periode T. Dan moet f(x) = f(x+T). Je weet dat in dit geval de sinus een periode heeft van 2p. Dus sin(2x) heeft een periode p, sin(kx) heeft een periode 2p/k.

Laten we het voorbeeld eens oplossen. Duidelijk moet de periode een p-voud zijn, stel mp (met m rationaal).
We krijgen: 2mp = 2kp met k geheel;
3mp = 2lp met l geheel;
5mp = 2np met n geheel.

(Verklaring: als je bij x de periode mp optelt, verandert het argument van de drie sinussen met respectievelijk de drie linkerleden. Opdat dat geen invloed zou hebben op de waarde van de sinus, moet het argument dus een verandering met een 2p-voud ondergaan hebben.)

Hieruit volgt dat m geheel moet zijn (eerste vergelijking), en even (tweede en derde vergelijking), en zo klein mogelijk. Dus m=2, en de periode is 2p.

Dit klopt met de intuïtie, immers: je hebt een optelling van een sinus met een periode p, één met een periode 2p/3 en één met een periode 2p/5. Je hebt dus het kleinste gemeen veelvoud nodig van die drie periodes, en dat is 2p. kgv is misschien wel een verkeerde term omdat je niet met gehelen werkt, maar je zal wel begrijpen wat ik bedoel.

Merk overigens op dat deze werkwijze niet juist is als je de plustekens in de opgave vervangt door de vermenigvuldiging, want dan is de periode p: sin(3(x+p)) = - sin 3x, en sin(5(x+p)) = - sin 5x en sin(2(x+p)) = sin 2x, de mintekens heffen elkaar op en de waarde blijft gelijk... Oplettendheid is dus wel geboden om zulke vragen op te lossen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
7-7-2003