WisFaq!

Re: Hyperbool, richtlijnen en brandpunten

Vraag bij uitwerking 2):
De enige vgl bij de raaklijn van een hyperbool die mij bekend is is: (xx0/a^2) - (yy0/b^2) = 1.
Hoe kom je dan aan het antwoord ax - by = 1. De term "eerlijk delen" is mij ook niet duidelijk.

Dat de loodlijn op de raaklijn dan b als r.c. heeft begrijp ik maar waarom is bx + ay gelijk aan 2ab???

OP*OQ = 2, baseer je dat op de 2 van Y(Q) = 2b???

F.
3-7-2003

Antwoord

De vergelijking van de hyperbool luidt:
x² - y² = 1
of wel:
x²/1 - y²/1 = 1
De door jou genoemde a en b zijn dus beide 1.
De door jou genoemde x0 = a en y0 = b
Mijn vergelijking is dus precies dezelfde als die van jou.

Eerlijk delen:
de vergelijking van de hyperbool kan geschreven worden als:
xx - yy = 1
Vervang dan van xx er eentje door a en van yy er eentje door b.

De raaklijn heeft als r.c. het getal a/b.
De normaal heeft dan de r.c. -b/a.
Het product moet gelijk zijn aan -1.
De vergelijking van de normaal is dan iets als bx + ay = ...
Immers hiervan is de r.c. gelijk aan -b/a.
Maar het punt (a,b) moet op de normaal liggen. Dus op de ... moet ba + ab = 2ab staan (x=a, y=b).

De y-coördinaat van P is -1/b. De y-coördinaat van Q is 2b
De lengte van OP is dan |-1/b|. De lengte van OQ is dan |2b|
OP maal OQ is dan gelijk aan |-1/b| maal |2b|. En de uitkomst daarvan is 2.

dk
3-7-2003