WisFaq!

Hyperbool, richtlijnen en brandpunten

Kunnen jullie me helpen met de volgende vragen?

1) Stel de vergelijking op van de meetkundige plaats van punten waarvan de afstand tot (4,0) twee keer zo groot is als de afstand tot de lijn x =1. Met welke kegelsnede hebben we te maken?

Ik heb al dat d(P;(4,0)):2d(P,l) = 2:1 (want totale afstand is 3).
Hoe ga ik nu verder?

2) Gegeven de huperbool x^2 - Y^2 =1
In een veranderlijk punt R van deze hyperbool wordt de raaklijn getekend. Deze raaklijn snijdt de y-as in punt P. Door raakpunt R wordt ook de lijn loodrecht op raaklijn getekend. De laatste snijdt y-as in Q. Bewijs dat OP*OQ is constant

Alvast bedankt!

F
2-7-2003

Antwoord

(1)
Stel P(x,y) is zo'n punt.
De afstand van P tot x=1 is gelijk aan |x-1| = A
De afstand van P (4,0) is Ö( (x-4)² + (y-0)² ) = B
We moeten dus "herschrijven":
2A = B
Kwadrateren geeft dan
4(x-1)² = (x-4)²+y²
...
Na uitwerken en herleiden op 0 krijg je dan iets als 3x² - y² ...
En da's een hyperbool.
En dat is inderdaad wat we mogen verwachten, als je iets weet over brandpunten en richtlijnen (excentriciteit) bij kegelsneden... (zie link hieronder)

(2)
Stel R = (a,b)
De raaklijn aan de hyperbool ("eerlijk delen"): ax - by = 1
Het snijpunt van deze lijn met de y-as heeft als y-coordinaat:
y(P) = -1/b
De loodlijn op de raaklijn in R: bx + ay = 2ab
Het snijpunt van deze lijn met de y-as heeft als y-coordinaat:
y(Q) = 2b
OP.OQ = 2 (en dat is inderdaad een constante)

Zie Richtlijnen en excentriciteit [http://www.pandd.demon.nl/kever.htm#42]

dk
2-7-2003