WisFaq!

Reeksen

Hallo,
Ik heb de volgende reeks, maar kom er niet uit. Misschien weet u een oplossing;

å [(1+i)^(integer((t-1)/k)]/[(1+r)^(t-1)] waarbij gesommeerd wordt van t=1 tot t=n*k en i, k, r en n bekend zijn, maar wel gevarieerd kunnen worden.

groet,
Alexander

Alex
30-6-2003

Antwoord

Hoi,

Voor elke gehele t kan je t-1 schrijven als a.k+b (gehele deling) Met b=0,1,.. of (k-1).

De som-operator kunnen we dan als volgt herschrijven:
sum(t:1..k.n) =
sum(t-1:0..k.n-1) =
sum(a:0..(n-1),sum(b:0..(k-1)))

We hebben: (1+i)^int((t-1)/k)=(1+i)^a
en: (1+r)^(t-1)=(1+r)^(ak+b)=(1+r)^b.((1+r)^k)^a

Je sommand is dus:
(1+i)^a / [(1+r)^b.((1+r)^k)^a] =
[1/(1+r)]^b.[(1+i)/(1+r)^k]^a

Met l=1/(1+r) en m=(1+i)/(1+r)^k,
moeten we dus berekenen:
sum(a:0..(n-1),sum(b:0..(k-1),l^a.m^b))=
sum(a:0..(n-1),l^a.sum(b:0..(k-1),m^b))=
sum(a:0..(n-1),l^a.(m^k-1)/(m-1))=
(m^k-1)/(m-1).sum(a:0..(n-1),l^a)=
(m^k-1)/(m-1).(lⁿ-1)/(l-1)

(in de laatste stappen gebruikte ik 2x de formule om een partieelsom van een meetkundige reeks in gesloten vorm uit te drukken)

Groetjes,
Johan

andros
3-7-2003