WisFaq!

Vergelijkingen met drie onbekenden ( bespreken van stelsel met parameter )

Ik heb de volgende vergelijkingen:
3x + 2y + z = 6
x + ay + 2z = 2
-x + 3y = b

Ik heb geprobeerd deze vergelijkingen met de 'Gaussian Elimination' op te lossen. Ik kwam er steeds niet uit, wat ik ook probeerde, en welke rijen ik ook met elkaar verwisselde. Uiteindelijk hield ik bij de onderste rij drie getallen over, terwijl dat er twee moeten zijn. Weten jullie wat ik fout zou kunnen hebben gedaan?

Jeroen
29-6-2003

Antwoord

Dit stelsel bevat twee parameters: a en b. Je moet het stelsel oplossen naar de mogelijke gevallen voor a en b. Je gebruikt hiervoor (zoals je zelf aangaf) de methode van Gauss-Jordan (ik ruim niet naar boven op). Rijen mag je vrij wisselen. zet de middelste rij bovenaan omdat die met een 1 begint. Dat is handig voor Gauss-Jordan.
De bespreking begint als er een parameter in de "spil" komt.
Het begint als volgt:

 1 a 2 2 
 3 2 1 6 
-1 3 0 b  
 

Hierin is het element links boven (1) de spil. Pas de methode van Gauss-Jordan toe. Je krijgt:

1    a   2    2 
0 2-3a  -5    0  
0  3+a   2  b+2 
 

Nu gebruiken we de tweede rij. Je ziet dat het niet mogelijk is om de parameter a uit de spil te houden (de spil is hier 2-3a). De spil mag nooit nul worden. Stel dat dat wel zo is:

geval 1: 2-3a=0 =a=2/3

je krijgt (tweede en derde rij wisselen en a=2/3 invullen):

1  2/3   2    2 
0 11/3   2  b+2 
0    0  -5    0  

Dit geeft een bovendriehoeksmatrix. Werk van onder naar boven en vul in.

= -5z=0 = z=0
= 11/3 * y = b+2
= y=3/11 * (b+2)
= x+2/3*y=2
= x+2/11*(b+2)=2
= x=2-2/11*(b+2)

geval 2: 2-3a¹0 = dit kan dienen als spil

we hadden:

1    a   2    2 
0 2-3a  -5    0  
0  3+a   2  b+2 
 

(na Gauss-Jordan op de tweede rij met spil 2-3a)

1    a    2    2 
0 2-3a   -5    0  
0    0 19-a   (2-3a)(b+2) 
 
 

geval 2.1: a=19
strijdig want 0x+0y+0z=-55(b+2)

geval 2.2: a¹19

= z=(2-3a)(b+2)/(19-a)
=(2-3a)y - 5z=0
=(2-3a)y - 5(2-3a)(b+2)/(19-a)=0
= y=5(b+2)/(19-a)
=....


Koen

km
29-6-2003