WisFaq!

Sproeimachine

In een tank van een sproeimachine bevindt zich 600 liter (V) water, waarin 8 kg spuitmiddel is opgelost. Om de concentratie spuitmiddel te verlagen wordt een pomp aangezet die water wegpompt en tegelijkertijd evenveel schoon water binnenbrengt. De pomp heeft een capaciteit van 60 liter (Q) per minuut. Het ingepompte schone water mengt zich homogeen met het aanwezige water.
We willen weten hoe de hoeveelheid spuitmiddel verandert met de tijd, waarbij je er van uit moet gaan dat:
Verandering (in de massa spuitmiddel)= toevoer – afvoer.

• Laat zien dat de differentiaalvergelijking wordt : dy= (-Q/V)*ydt
  
• Los de differentiaalvergelijking op.(let op eenheden)
  
• Na hoeveel minuten is de concentratie spuitmiddel gedaald tot 0.1 kg/l

alvast bedankt

Mirella
28-6-2003

Antwoord

De hoeveelheid spuitmiddel [kg] op tijdstip t is (de nog te bepalen functie) y(t).
De massaverandering van het spuitmiddel per tijdseenheid is dus dy/dt=toevoer-afvoer.
Aangezien de pomp schoon water (=zonder spuitmiddel) binnenbrengt, geldt; toevoer=0.
Of: 0 [kg/liter]·60[liter/min]=0 [kg/min]
De tank bevat 600 liter water (V), dus de concentratie spuitmiddel op tijdstip t
is y(t)/V in [kg/liter].

Het pompje benut waarschijnlijk zijn gehele capaciteit (Q), zodat voor de afvoer geldt: afvoer=(y(t)/V)·Q in [(kg/liter)·(liter/min)]Ûafvoer=(Q/V)·y(t) in [kg/min]
Invullen in de formule voor de massaverandering van het spuitmiddel geeft:
dy/dt=toevoer-afvoer=0-(Q/V)·y(t)Ûdy/dt=(-Q/V)·y(t)Ûdy=(-Q/V)·y(t)dt

Oplossen: (Q en V zijn constanten, de dv is separabel)
(1/y(t))dy=(-Q/V)dt dus ln|y(t)|=(-Q/V)·t+C met
y(0)=8 [kg], Q=60 [liter/min] en V=600 [liter] wordt dit
ln|8|=(-60/600)·0+C dus C=ln(8)
zodat |y(t)|=e^{(-1/10)·t+ln(8)}=e^(-1/10)·t·e^ln(8)Û|y(t)|=8·e^(-1/10)·t
Bedenk dat y(t) altijd positief is, want y(t) is continu en y(0)=8 (0) en de e-macht is nooit 0, dus y(t)=8·e^(-1/10)·t

y(t)=0.1Ûe^(-1/10)·t=0.1/8Û(-1/10)·t=ln(1/80)Ût=-10·ln(1/80)=43.82 [min] dus na ongeveer 43 minuten en 49 seconden is de concentratie gedaald tot 0.1 [kg/liter].

Sander
30-6-2003