WisFaq!

Differentiaalvergelijkingen icm complexe getallen

Hallo, ik ben me aan het voorbereiden op mijn tentamen wiskunde en kom niet uit het volgende: een particuliere oplossing te schrijven van de differentiaalvergelijking:
x"(t) + x'(t) - 12x(t) = -50e^3tsin(t)
is e^3tsin(t) gelijk aan: e^(3-i)t?
Ik heb als uitkomst Xp(t) = (1-7i)e^(3-i)t, klopt dit? en zoja dan moet ik er toch nog iets meedoen voor de algemene oplossing. (naast het optellen bij de homogene oplossing).

Ik hoop dat jullie me hierbij kunnen helpen,

Bij voorbaat dank,

Jorrit Pijlman

Jorrit Pijlman
26-6-2003

Antwoord

Je zit wel in de goede richting met je oplossing.
Eerst even de homogene: daarvoor los je de karakteristieke vergelijking
$\lambda$² + $\lambda$ - 12 = 0 op, ofwel: $\lambda$=3 $\angle$ $\lambda$=-4
De homogene oplossing is dus:
x_h(t) = C₁·e^3t + C₂·e^-4t
De particuliere oplossing heeft de gedaante:
e^3t·(A·cos(t) + B·sin(t))

Door deze vorm twee keer te differentieren, en in te vullen in de originele vergelijking, kun je A en B berekenen.
Je kunt ook de complexe variant nemen, maar niet precies zoals je voorstelt, want e^3tsin(t) is niet gelijk aan: e^(3-i)t

e^3t·P·e^it+$\phi$.
ook weer twee keer differentieren, en P en $\phi$ berekenen.
succes,

Anneke
26-6-2003