WisFaq!

4de machtsvergelijking met reële parameter

volgende vergelijking is gegeven : x⁴+2x³-17x²+kx+72=0


ik moet k zo bepalen dat de vergelijking 4 verschillende reële wortels(x1,x2,x3,x4) heeft en waarvoor geld dat x1+x2 = x3+x4


en ik moet deze wortels ook bereken.

hoe doe je dit nu?

ik heb die uitleg over 4de machtsvergelijking en dergelijke al gelezen maar kan toch niet direct uitpluizen hoe ik dit nu juist toepas om dit op te lossen

Filip
23-6-2003

Antwoord

De veelterm zou dus te schrijven moeten zijn als

a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) (**)

Werk dat uit en je bekomt

ax⁴ + a(-x1-x2-x3-x4)x³ + (termen van lagere graad in x)

Hieruit volgt meteen dat a=1 en dat dus de coefficient van x³ het tegengestelde van de som van de wortels voorstelt, dus x1+x2+x3+x4 = -2. Uit het gegeven volgt dan dat x1+x2=-1 en x3+x4=-1. Stel x1=p en x3=q. Dan zijn de wortels p,q,-1-p en -1-q. Stop dat in (**) en je bekomt

x⁴+2x³+(-p-p²-q-q²+1)x²+(-p-p²-q-q²)x+pq+pq²+p²q+p²q²

Hierin zie je dat de coefficient van x altijd een eenheid kleiner is dan die van x². We zien dus nu al dat k=-18.

We zien nu ook dat

-p-p²-q-q² = -p(1+p)-q(1+q) = -18
pq+pq²+p²q+p²q² = pq(1+p)(1+q) = 72

We zoeken dus 2 getallen v=p(1+p) en w=q(1+q) waarvoor

v+w=18
vw = 72

Dat betekent dat v en w de oplossingen zijn van kwadratische vergelijking

z² - 18z + 72 = 0

die als wortels 6 en 12 heeft.

1) p(1+p)=6 en q(1+q)=12
p=2 of p=-3
q=3 of q=-4

2) p(1+p)=12 en q(1+q)=6
p=3 of p=-4
q=2 of q=-3

Bekijk nu zelf even dat aangezien de wortels gegeven worden door p,q,-1-p en -1-q deze mogelijkheden zich steeds herleiden tot hetzelfde viertal wortels

{2,-3,3,-4}

cl
23-6-2003