WisFaq!

Volume en straal veranderen --> oppervlakte?

Op een bepaald ogenblik neemt het volume van een bol toe met 5 cm/sec en de straal met 2 cm/sec. Hoe snel verandert de oppervlakte van de bol op dat ogenblik?

PS: er staat wel degelijk 5 cm/sec en niet 5 cm^3/sec (dat op zich versta ik niet)

Groetjes

Compugreen
22-6-2003

Antwoord

V(r) = (4/3)pr³
A(r) = 4pr²

De opgave heeft het over een straal die verandert in de tijd, dus r is een functie van t, stel r(t).

W(t) = V(r(t)) = (4/3)pr(t)³
B(t) = A(r(t)) = 4pr(t)²

De kettingregel zegt dan dat

W'(t) = 4pr(t)².r'(t) (1)
B'(t) = 8pr(t).r'(t) (2)

Noem T het ogenblik waarover sprake. Er geldt dat

r'(T) = 2
W'(T) = 5

Uit (1) volgt dan dat

r(T) = Ö[5/(8p)]

zodat uiteindelijk via (2)

B'(T) = 8pÖ[5/(8p)].2 = 4Ö[10p]

PS1: Dat moest inderdaad 5 cm³/sec zijn.
PS2: Leuke opgave voor middelbareschoolwiskunde!

cl
22-6-2003