Je zou natuurlijk ook alle mogelijkheden kunnen afgaan, desnoods met een computer. Dat is op zich geen minderwaardig bewijs. Je kan wel door bepaalde mogelijkheden uit te sluiten een "eigenhandig" bewijs vergemakkelijken. Misschien zijn er nog kortere redeneringen die tot de oplossing leiden, maar hier heb je de mijne. Stel
x = [ABCD]
y = [DCBA]
De vergelijking herleidt zich tot
4x = y
4 (1000A + 100B + 10C + D) = 1000D + 100C + 10B + A
3999A + 390B = 996D + 60C (*)
A, B, C en D zijn hierin cijfers, dus getallen van 0 tot en met 9. A kan alleen 0,1 of 2 zijn omdat voor A=3 de waarde van y minstens 12000 wordt.
--------------------
A=0
Voor A=0 is het linkerlid van (*) een veelvoud van 10 en het rechterlid niet, behalve als D=0. De overblijvende vergelijking wordt dan 13B=2C en heeft geen oplossingen in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}2 behalve B=C=0. We hebben dus de nul-oplossing gevonden.
--------------------
A=1
Voor A=1 is het linkerlid van (*) oneven en het rechterlid even. In dit geval vinden we dus geen oplossingen.
--------------------
A=2
De vergelijking (*) herleidt zich nu tot
7998 + 390B = 996D + 60C
Omdat de waarde het linkerlid minstens 7998 bedraagt en 60C hoogstens 540 is moet 996D minstens gelijk zijn aan 7998-540=7458. Dat betekent dat D alleen 8 of 9 kan zijn.
1) D=8 -
7998 + 390B = 7968 + 60C - 1 + 13B = 2C Het rechterlid hiervan is hoogstens 18, de enige oplossing wordt dus B=1 C=7. We hebben dus de oplossing x=2178 gevonden, met y=4x=8712.
2) D=9 -
7998 + 390B = 8964 + 60C - 390B = 60C + 966 Hier is het linkerlid ook weer een veelvoud van 10 en het rechterlid nooit, dus ook hier geen oplossingen
--------------------
Conclusie
Het enige getal van vier cijfers dat zijn "omgedraaide" als viervoud heeft, is 2178. Nul is immers geen getal van vier cijfers.
--------------------
cl
21-6-2003