WisFaq!

Bepalen van een primitieve

Hallo,

Ik heb 8x(x²-1)³. De primitieve zou dan moeten zijn (x²-1)⁴+C. Hoe komt men hieraan, en welke rekenregels worden gebruikt?

Met vriendelijke groet,
George van Klaveren.

George van Klaveren
20-6-2003

Antwoord

Hoi,

Je bepaalt eigenlijk ò8x·(x² - 1)³dx, daar zit een constante in, namelijk 8, en een constante mag voor het integraalteken gezet worden, krijg je 8òx·(x² - 1)³dx.
Dit kunnen we op 2 manieren oplossen, ofwel ga je (x² - 1)³ helemaal uitschrijven, en daarna alles vermenigvuldigen met x, en daarna de afzonderlijke termen integreren (constante naar voren), en daarna nog rekeninghouden met de naar voor gezette 8.

Maar het kan gemakkelijker, aangezien er een functie in de andere functie zit, kun je gebruik maken van substitutie.
Stel u = x² - 1, dan is ^du/_dx = 2x Þ 2xdx = du Þ xdx = ¹/₂du

8òu³·¹/₂du Û 8·¹/₂òu³du Û 4·¹/₄u⁴ + c
= (x² - 1)⁴ + c.

De hier gebruikte regels zijn dus:

• Een constante mag voor het integraalteken gezet worden
  
• òxⁿdx = ^{xn + 1}/_{n + 1} + c
  
• Indien er een functie in de andere functie zit, en het differentiëren van de gekozen functie (waaraan je u gelijk stelt) laat het toe om de dx te vervangen door du en eventueel meer, en de nieuwe functie is gemakkelijk te integreren, dan kun je gebruik maken van substitutie

Duidelijk? Indien er nog vragen zijn (hetzij over dit antwoord, hetzij nieuwe vragen), stel ze gerust.

Groetjes,

Davy.

Davy
20-6-2003