WisFaq!

Binomiaalvergelijking z^n=c

Hallo,

We hebben u=wortel(i), u^2=i. Daar volgt dan volgens de lesstof uit u^2=i=e^(1/2*Pi+k*2*Pi). Hoe komt men hieraan?
Tevens zouden hier weer uit volgen: u(k)=e^i*(1/4*Pi+k*Pi) met k=0 en k=1. Nogmaals: hoe komt men hieraan?

Groetjes,
George.

George van Klaveren
19-6-2003

Antwoord

Hallo,

De formule is: e^it = cos(t) + i*sin(t).
Bekendste voorbeeld is e^ip = -1.

Het maakt nu niets uit of je bij die t nog een geheel aantal keer 2p bijtelt, want dat verandert noch die cos, noch die sin. Merk wel op dat in je eerste formule een i ontbreekt, vlak voor de (p/2 + 2kp).

Dus als je die eerste uitkomst (i=..) wil bekomen, zoek dan een t waarvoor cos(t)=0 en sin(t)=1, dus dat is inderdaad p/2 + 2kp.

Wil je hieruit de wortel trekken, dan volstaat het de exponent te halveren, maar dan krijg je wel twee verschillende oplossingen: e^{p/4 + kp} geeft andere waarden als je k oneven dan wel even kiest. Maar dat is logisch: als je uit een getal een n-de machtswortel trekt (hier n=2), dan krijg je in de complexe getallen altijd n oplossingen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
19-6-2003