WisFaq!

Richtingsafgeleide en gradient

hey,

Ik ben aan 't leren over afgeleiden in meerdere variabele, graag had ik geweten wat juist de richtingsafgeleide is, de meetkundige betekenis hiervan. Is dit gelijk aan de gradient?? En wat is de meetkundige betekenis van de gradient?
Bedankt

Karina
19-6-2003

Antwoord

De richtingsafgeleide heeft wel te maken met de gradiënt, maar het is niet hetzelfde. De richtingsafgeleide is namelijk een getal, terwijl de gradiënt een vector is.

Eerst maar even de meetkundige betekenis van de gradiënt. Dit is een vector die wijst in de richting, waarin de functiewaarde het sterkst toeneemt.

Neem nu een zekere richting, aangegeven door de vector a. Bereken dan eerst een vector b in de richting van a, waarvan de lengte gelijk is aan 1, namelijk ^a/_||a||.

De richtingsafgeleide in de richting a is gelijk aan het inwendig product (ook wel inproduct genoemd) van de gradiënt met b.

De meetkundige betekenis van de richtingsafgeleide is: de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie, in de richting van a.

Bijvoorbeeld:

f(x,y) = x² + y²

De grafiek van f is een paraboloïde.
De gradiënt van f is de vector (2x, 2y) (ik schrijf voor het gemak de vectoren maar als rij, eigenlijk moet je er kolommen bij denken).

Neem bijvoorbeeld het punt P(3,5), en de richting a=(1,2). De gradiënt in P is (6,10), wat dus betekent: als je vanuit P in de richting (6,10) loopt, is de stijging van de functiewaarde het grootst.

De richtingsafgeleide in de richting a is dan:
¹/_√5·(6·1 + 10·2) = ²⁶/_√5.

Als je meer uitleg wilt (het is misschien lastig voor te stellen zonder plaatje) dan hoor ik het wel.
groet,

Anneke
19-6-2003