WisFaq!

Warmtevergelijking

De vraag is de volgende warmtevergelijking op te lossen:
Ut = Uxx
Met de volgende randvoorwaarden:
U(0,t) = U(1,t) = 0
En beginvoorwaarde:
U(x,0) = cosh(x) = [ e^x + e^(-x) ] / 2

De volgende uitwerking heb ik zelf gemaakt (met behulp van een boek), echter zie ik niet hoe dit tot een oplossing van de warmtevergelijking gaat leiden. Kunnen jullie helpen?

Als U(x,t) = X(x) T(t) (1)
Dan wordt de warmtevergelijking: X’’T= X T’
Uitgewerkt: (X’’/X) = (T’/T) = -λ

Zo ontstaan er twee d.v.’s:
(2) X’’ + λ X = 0
(3) T’ + λ T = 0

Substitutie van de eerste randvoorwaarde in (1) geeft:
U(0,t) = X(0) T(t)

Beginwaardeprobleem:
Xn(x) = sin (n pi x / L), met n = 1, 2, 3, …
Met eigenwaarden λn = n^2 pi^2 / L^2

Substitutie in (2) van bovenstaande geeft:
T’ + (n^2 pi^2 / L^2) T = 0

Un(x,t) = e^( [ -n^2 pi^2 / L^2 ] t) sin(n pi x / L)
(Fundamental solutions?)

U(x,t) = (n=1, ¥) Σ Cn Un(x,t)
= (n=1, ¥) Σ Cn e^( [ -n^2 pi^2 / L^2 ] t) sin(n pi x / L)
(Is dit de oplossing?)

U(x,0) = (n=1, ¥) Σ Cn sin(n pi x / L) = cosh(x)

Cn = 2/L {integraal van 0 tot L}ò cosh(x) sin(n pi x / L)
(Wat is de meest logische weg om deze integraal te berekenen, integration by parts is redelijk omslachtig)

Met L = 1, mag de oplossing van de warmtevergelijking worden geschreven als:

U(x,t) = (n=1, ¥) Σ Cn e^( [ -n^2 pi^2] t) sin(n pi x) ??????


Met vriendelijke groet,
Bregje

Bregje
16-6-2003

Antwoord

X'' + lX = 0

Als (een veelvoud van) een cosh-functie hieraan moet voldoen, moet l zeker negatief zijn. Stel dus l=-b². Kan je nu verder?

cl
16-6-2003