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Partiële integratie

hey
in een oefening kom ik een deelintegraal

int(x²·dx)/(sqrt(1-x²)) tegen , hoe los ik die op ?

alvast bedankt !

ben
16-6-2003

Antwoord

Eerst even de formule een beetje om-schrijven:

x²/Ö(1-x²) = (x²-1+1)/Ö(1-x²)
= {-(1-x²)+1}/Ö(1-x²)
= -Ö(1-x²) + 1/Ö(1-x²)

Dus:
ò{x²/Ö(1-x²)}dx
= ò{-Ö(1-x²) +1/Ö(1-x²)}dx
= ò{-Ö(1-x²)}dx + ò{1/Ö(1-x²)}dx
= ò{-Ö(1-x²)}dx + [arcsin(x)]

de term ò{-Ö(1-x²)}dx nemen we eventjes apart 'onder handen' dmv partieel integreren:
ò{-Ö(1-x²)}dx
= [-xÖ(1-x²)]-ò{x²/Ö(1-x²)}dx

Dit betekent dus voor de oorspronkelijke integraal dat
ò{x²/Ö(1-x²)}dx = -[xÖ(1-x²)] - ò{x²/Ö(1-x²)}dx + [arcsin(x)] Û
2ò{x²/Ö(1-x²)}dx = [arcsin(x)-xÖ(1-x²)] Û
ò{x²/Ö(1-x²)}dx = [¹/₂arcsin(x)-¹/₂xÖ(1-x²)]

groeten,
martijn

mg
16-6-2003