WisFaq!

Methode der onbepaalde parameters

Ik zoek de algemene oplossing van de derde orde d.v.:
y’’’ – y’ = x e^-x + 2 cos x

Ik kom zelf niet verder dan (met behulp van Laplace):
Y(s) = 1/ [s³ (s + 1)(s²-1)] + 2 / [(s² + 1)(s²-1)] + 1/s · y(0) + 1/(s²-1) · y’(0) + 1/ [s(s²-1)] · y’’(0)

Er wordt aangeraden om de methode der onbepaalde parameters te gebruiken. Hoe moet ik deze toepassen op bovenstaande derde orde d.v.

Met vriendelijke groet,
Bram

Bram
13-6-2003

Antwoord

Ofwel los je het probleem volledig op met behulp van de Laplace-transformatie (je moet dan nog de volledige breuksplitsing doorvoeren en invers transformeren) ofwel gebruik je de theorie van de differentiaalvergelijkingen, die ik voor jouw probleem even kort samenvat.

De oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen kunnen worden geschreven als

y = y_h + y_p

Hierin is y_h de algemene oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking. Deze bevat een aantal constanten die je de mogelijkheid zullen bieden een oplossing te vinden die voldoet aan de beginvoorwaarden.

y_p is een particuliere oplossing van de volledige differentiaalvergelijking. Daarvoor bestaan enkele methoden:

1) methode van de onbepaalde coefficienten: een min of meer voor de hand liggende manier die steunt op het voorstellen van een bepaalde vorm van de oplossing, vooral handig als het een differentiaalvergelijking met constante coefficienten betreft en het rechterlid er "exponentieel" uitziet;

2) methode van de variatie van parameters: iets minder voor de hand liggend, maar veel algemener.

Jouw naamgeving mixt deze twee methoden maar ik denk dat je de eerste bedoelt. Volg onderstaande link voor meer uitleg.

Vergeet niet dat je het rechterlid mag opsplitsen in verschillende termen waar je apart een particuliere oplossing voor zoekt.

Jouw opgave is een interessante oefening, omdat meteen het speciale geval opduikt waarin de -1 in het argument van de exponentiele RECHTS ook een wortel is van de karakteristieke vergelijking van het stuk LINKS.

Als je nog problemen hebt, zeg je het maar, dan lossen we 'm samen op.

Zie Onbepaalde coefficienten [http://www.sosmath.com/diffeq/higher/guessing/guessing.html]

cl
13-6-2003