WisFaq!

Cilindervlak

Hallo,
Ik heb de volgende vraag.
Gegeven zijn het cilindervlak C: (x,y,z)=(2*cos(t),2*sin(t),u) en het vlak V met de vergelijking x+y+z=4. V snijdt C volgens kromme k.

a) k snijdt het Oyz-vlak in de punten A en C en het Oxz-vlak in de punten B en D. Als Ya0 en Xb0, bewijs dan dat de vierhoek ABCD een rechthoek is.

b) Bereken de hoek phi die de raaklijn l in A aan k en de raaklijn m in B aan k met elkaar maken.

Kunt u mij helpen met deze 2 vragen?

Mieke de Boer
11-6-2003

Antwoord

Omdat A en C in het Oyz-vlak moeten liggen geldt x = 0, zodat 2cos(t) = 0 ofwel cos(t) = 0.
Hieruit volgt t = ¹/₂p of t = 1¹/₂p (wanneer we ons beperken tot het interval [0,2p].
Uit t = ¹/₂p volgt y = 2sin(¹/₂p) = 2 zodat via x + y + z = 4 volgt dat ook z = 2. Kortom: A = (0,2,2)
Uit t = 1¹/₂p volgt y = -2 zodat z = 6. Daarmee is C er ook, namelijk C = (0,-2,6)

Idem: B en D moeten in het Oxz-vlak liggen en dus is y = 0.
Dat geeft sin(t) = 0 waaruit t = 0 of t = p of t = 2p.
Volmaakt analoog aan het vorige vind je nu B = (2,0,2) en D = (-2,0,6)
Overigens geeft t = 2p hetzelfde punt als t = 0, hetgeen duidt op een gesloten kromme k. Het zou dus een cirkel of een ellips kunnen zijn, bijvoorbeeld.

Nu je de vier punten hebt, moet nog worden aangetoond dat ABCD een rechthoek is.
Dat zou bijvoorbeeld kunnen door aan te tonen dat AB en CD evenlang en evenwijdig zijn (dan is ABCD in ieder geval parallellogram) en daarna bijvoorbeeld dat de diagonalen AC en BD óók evenlang zijn. Een parallellogram met even lange diagonalen is een rechthoek. Je kunt natuurlijk ook aantonen dat bijvoorbeeld ÐA = 90° met behulp van het inqwendig product (bekend?)

MBL
12-6-2003