WisFaq!

Somformule meetkundige reeks

Hallo allemaal,

Wij maken een wiskundewerkstuk over pi. Hiervoor moet ik de somformule van een meetkundige reeks zelf berekenen.
Dit heb ik tot nu toe, maar ik kom niet verder:

We nemen het getal a. De vraag is om de oneindige reeks a⁰ (=1) + a¹ + a² ... uit te rekenen, mits deze convergeert (dus naar 0 gaat). Dat kan natuurlijk alleen als a(ABS, er staan hier geen absoluutstrepen) $<$ 1. Anders zou aⁿ niet eens naar 0 gaan als n$\to\to\infty$.
We beginnen ermee om de som van de eerste n termen, voor een gegeven n, uit te rekenen. We noemen deze som Sn:
Sn = 1 + a + a¹ + a² + ... + a^n-2 + a^n-1

En nu? ik weet niet hoe ik nu verder moet. Dit is niet de juiste (handige) somformule voor deze meetkundige reeks. Kunnen jullie me helpen? Alvast bedankt,Renske

Renske
31-5-2003

Antwoord

In eerste instantie wil je graag een handige formule weten voor 1+a+a²+a³+...+aⁿ;
Vervolgens ga je kijken hoe deze formule eruit ziet wanneer n$\to\infty$ gaat.

Om die handige formule te krijgen, gaan we uit van
1+a+a²+a³+...+aⁿ
en vervolgens vermenigvuldigen we deze hele hap met
(a-1)/(a-1)
(Dit is immers hetzelfde als vermenigvuldigen met factor 1.)
Zodoende krijg je iets simpels in de noemer (namelijk a-1), en iets ingewikkelds in de teller, namelijk
(1+a+a²+...+aⁿ).(a-1)
Wat in de teller staat, is ogenschijnlijk ingewikkeld, maar er komt iets vrij eenvoudigs uit. Laten we de teller eens een stukje uitschrijven. Eerst vermenigvuldige we alles met de a (van a-1) en daarna alles met de -1 (van diezelfe a-1 term). Dit levert:

a+a²+...+aⁿ⁺¹ -1-a-a²-a³-...-aⁿ
Wanneer je hier goed naar kijkt, zal je opvallen dat de a's tegen elkaar wegvallen; de a²; de a³ enz...
En wat je overhoudt is alleen de aⁿ⁺¹ en de -1.

Zodoende krijg je de breuk (aⁿ⁺¹-1)/(a-1)

Conclusie:
1+a+a²+a³+...+aⁿ = (aⁿ⁺¹-1)/(a-1)

Deze formule geldt voor alle waarden van a, behalve 1.
(waarom?)

Volgende stap:
Nu laten we n$\to\infty$ gaan. Wanneer je kijkt naar de formule (aⁿ⁺¹-1)/(a-1) dan zie je dat wanneer |a|$>$1 de teller 'explodeert' vanwege de term aⁿ⁺¹.
Echter, wanneer |a|$<$1 dan gaat de term aⁿ⁺¹ voor n$\to\infty$ juist naar nul.
(doe maar eens op je rekenmachine 100 keer 0,6 met zichzelf vermenigvuldigen. of -0,8 of ..)

Hieruit volgt dat voor n$\to\infty$ EN |a|$<$1, de formule voor 1+a+a²+...+aⁿ = (aⁿ⁺¹-1)/(a-1) vereenvoudigt tot -1/(a-1).
en -1/(a-1) is hetzelfde als 1/(1-a)

groeten,
martijn

mg
1-6-2003