WisFaq!

Hoe goniometrische functies differentieren ?

Beste wisfaq,

ik ben met een paragraaf bezig over het differentieren van gonio functies, er staat alleen maar de afgeleide in van de sinus en de cosinus, maar ik weet niet hoe ik daarmee de afgeleide kan bepalen van sommige functies kunt u me uitleggen hoe ik dit moet aanpakken:

Gevr. bepaal de afgeleide functie van :
a) x-- Ösin 2x
b) x-- sin x /(1-cos x )
c) x-- Öx .cos(1-x²)

Verder weet ik niet hoe men bij dit soort functies de afgeleide kan bepalen :

g(x)= cos 4x ( ik dacht g'(x) = -sin 4 , maar dat schijnt fout te zijn maar waarom ? )

f(x)= sin 2x ( ik dacht f'(x) = cos 2 )

Bijvoorbaat dank voor het beantwoorden wisfaq

Shahram
30-5-2003

Antwoord

Laten we met de laatste twee vragen beginnen.
Je zou in feite best een beetje gelijk kunnen krijgen, maar dan moet je cos4x lezen als (cos4).x. Dan is de afgeleide inderdaad cos4, net zo als de afgeleide van 7x gelijk is aan 7. Maar de bedoeling is vast en zeker dat je het lezen moet als cos(4x), dus de cosinus van het product 4x.

De regels zeggen nu: als y = cos(ax), dan is y' = -a.sin(ax)
en ook dat als y = sin(ax), dat dan y'= a.cos(ax)
Door a = 4 resp. a = 2 te nemen, krijg je de afgeleiden van je twee laatste vragen cadeau.

Nu naar de functie y = Ö(sin(2x)) = (sin(2x)^0.5
Je krijgt nu, in samenhang met de kettingregel de volgende afgeleide: y' = ¹/₂.(sin(2x))^-0.5.2cos(2x), eventueel te versimpelen tot y'= cos(2x)/(Ösin(2x))

Voor de quotiëntfunctie f(x) = sinx/(1 - cosx) krijg je logischerwijs de quotiëntregel te gebruiken.
Je krijgt: f'(x) = [(1-cosx).cosx - sinx.sinx]/(1-cosx)²
Als je de teller verder uitwerkt, dan krijg je cosx - cos²x-sin²x, en omdat sin²x + cos²x = 1, blijft van de teller niet meer over dan cosx - 2.

De derde functie gaat via de productregel. Ik geef je de twee afzonderlijke afgeleiden, die je dan waarschijnlijk zelf wel kunt combineren.
De afgeleide van Öx is gelijk aan 1/(2Öx) en de afgeleide van cos(1-x²) is gelijk aan 2x.sin(1-x²)

MBL
30-5-2003