WisFaq!

Snijlijn van twee vlakken en vectoren

A: (0,-1,3), B:(1,0,3) en C:(0,0,5) zijn drie punten. Laat P1 het vlak zijn door A, loodrecht op -j+k, en P2 het vlak door A,B,C.
a) Vind vergelijkingen voor P1 en P2
b) vind de hoek tussen p1 en p2
c)Bepaal de loodrechte afstand van O tot P1
d)Laat zien dat de snijlijn L, van P1 en P2 de lijn OD snijdt, waar D het punt (1,4,-4) is.
e) Bepaal het snijpunt van L met OD
We kunnen zelf de eerste 3 vragen berekenen en die kloppen ook met het antwoord, maar uit de vragen d en e komen we echt niet
Graag wat goede berekeningen
De antwoorden zijn:
a)P1 is -y+z=4, P2 is 2x-2y+z=5
b) 45 graden
c)2wortel2
d)en e)De lijn l wordt gegeven door r=labda(1,4,-4) Laat zien datdeze snijdt met P1 en P2 als Labda =-0,5

Pieter Lont
28-5-2003

Antwoord

Laten we eerst de snijlijn van de twee vlakken bepalen.

Kies z = $\mu$ (op zich een vrij willekeurige start).
Uit -y + z = 4 volgt dan y = $\mu$ - 4 en als je de twee uitdrukkingen voor y en voor z die we nu hebben invult in de tweede vlakvergelijking, dan krijg je x = -1¹/₂ + ¹/₂$\mu$

De snijlijn van de twee vlakken is daarmee gevonden, namelijk (x,y,z) = (-1¹/₂,-4,0) + $\mu$(¹/₂,1,1)

De lijn OD heeft uiteraard vectorvoorstelling (x,y,z) = $\lambda$(1,4,-4)

Snijden van beide lijnen geeft dan drie vergelijkingen:

-1¹/₂ + ¹/₂$\mu$ = $\lambda$ en -4 + $\mu$ = 4$\lambda$ en $\mu$ = -4$\lambda$

Nu combineer je een willekeurig tweetal van deze 3 vergelijkingen en lost daaruit de waarden van $\mu$ en $\lambda$ op. Als dit tweetal waarden nu óók aan de derde vergelijking blijken te voldoen, dan is het snijden een feit. Invulling van de $\mu$ en $\lambda$ in de respectievelijke lijnvoorstellingen geeft de coördinaten van het snijpunt erbij.
Ik kreeg $\mu$ = 2 en $\lambda$ = -¹/₂ en die waarden blijken inderdaad aan de drie vergelijkingen te voldoen.
Als je nu bijvoorbeeld $\mu$ = 2 invult in de bewuste lijn, dan krijg je snijpunt (-¹/₂,-2,2).
Invulling van de $\lambda$-waarde in de andere lijn geeft hetzelfde resultaat.

MBL
28-5-2003