WisFaq!

Excentriciteit van de ellips

bewijs dat als e= d(v(is een punt van de ellips),f(brandpunt dus))/d(v,F(richtlijn)) dat e dan = c/a

ik begrijp dus niet hoe ik dit moet bewijzen, vermits ik niet weet welke coördinaten ik moet invullen bij alle punten en dus niet weet hoe ik van d(v,f)/d(v,F) tot c/a geraak

ik hoop dat u iets snapt van mijn vraag, ik snap alleszins niet hoe ik het moet oplossen

Sandra Coussement
27-5-2003

Antwoord

Als je uitgaat van de ellips x²/a² + y²/b² = 1 en als a² - b² = c², dan liggen de brandpunten in (c,0) en (-c,0) en de richtlijnen hebben de vergelijking x = a²/c resp. x = -a²/c
Neem nu een willekeurig punt (x,y) op de ellips en bepaal dan de afstand d tussen dit punt en (c,0)
Voor die afstand geldt: d² = (x - c)² + y² en voor de afstand f tot het andere brandpunt geldt is f² = (x + c)² + y²

Aftrekking geeft f² - d² = 4cx en omdat per definitie geldt dat f + d = 2a volgt hier uit dat f - d = 2cx/a
(Gebruik dat f² - d² = (f - d)(f + d))
Uit f + d = 2a en f - d = 2cx/a volgt d = a - (cx)/a en f = a + (cx)/a

De afstand van (x,y) tot de richtlijn x = a²/c is gelijk aan a²/c - x .

Uit (c/a).(a²/c - x) = a - (cx)/a zie je nu hetgeen je vraagt.

MBL
27-5-2003