Stel je wilt een oplossing vinden van de vergelijking f(x)=0. Je kiest een x0 in de buurt van het nulpunt dat je wilt benaderen. Dan is het nulpunt x te schrijven als x0+e. De formule voor de raaklijn aan de functie in x=x0+e wordt gegeven door:
f(x0+e)
f(x0)+f'(x0)e Dit is de eerste-orde-Taylorbenadering (ook wel: lineaire benadering). We weten dat f(x0+e)=0. Dus kunnen we e benaderen:
f(x0)+f'(x0)e
0 e
-f(x0)/f'(x0) Aan deze benadering hebben we niet zoveel, dus we stellen:
e0=-f(x0)/f'(x0)
Dit is een goede benadering voor het verschil tussen het nulpunt en x0, dus gaan we dit proces herhalen voor x1=x0+e0 (en dat is wat er in je vraag staat voor willekeurige n). Hieruit komt weer een e1; en op deze manier kom je steeds dichter bij het werkelijke nulpunt te zitten.
groet,
Casper
ps: de formule voor de raaklijn die ik gaf heb ik niet verder bewezen. Daarvoor moet je zelf maar even zoeken op Taylor ofzo. Als het echt niet lukt, moet je nog maar even reageren.
cz
26-5-2003