WisFaq!

Gonio vergelijking

Hoi wisfaq,

ik heb twee sommen waarvan ik er een half snap en de tweede helemaal niet snap, kunnen jullie die laten zien ?

A) gevr: Bereken alle oplossingen in [0.2p] van, tan(x)= 1

Als ik dan de inverse van de tangens neem krijg ik als antwoordt: 0.7853 = 1/4p maar hoe komt men achter de andere oplossingen ?

( Vraagje over antwoorden in radialen; ik heb veel moeite met het antwoord dat men krijgt in decimalen, mooi als een breuk op te schrijven met de pi erachter heeft u misschien een handig trucje hiervoor ? ik deel pi namelijk door dat decimale getal dat ik als antwoord krijg maar soms gaat dat niet )
Nu ik dit aan het typen ben komt er nog een vraag bij me te boven: Wat betekent of waar staat die (mod2p) die ze vaak achter oplossingen zetten ?

Nu mijn tweede opgave:

Hoe berekent men lim (x-0) sin2(x)/x

Bedankt alvast voor uw antwoorden wisfaq,En groetjes van Tim

Tim
24-5-2003

Antwoord

Hoi Tim,

Eerst A)
tan(x)=sin(x)/cos(x), dus tan(x)=1 wil zeggen:
sin(x)/cos(x)=1, dus sin(x)=cos(x). Als je dit probleem bekijkt in de eenheidscirkel (ik hoop dat je die kent) dan zie je dat onder 2 hoeken de x en y-coordinaat gelijk zijn, namelijk bij x=p/4 en x=5p/4. Je kunt het ook algebraïsch oplossen:
sin(x)=cos(x)
cos(x-p/2)=cos(x) (gebruik sin(x)=cos(x-p/2) )
x-p/2=x+k.2p of x-p/2=-x+k.2p
eesrte heeft geen oplossingen, tweede wel:
2x=k.2p+p/2
x=p/4+k.p

dus in [0,2p] zijn er twee oplossingen: x=p/4 en x=p/4+p=5p/4

Over exacte antwoorden: je moet een aantal vaste waarden uit je hoofd kennen, bijvoorbeeld cos(p/4)=1/2.Ö2. Deze kun je ook beredeneren aan de hand van de eenheidscirkel. Als je lui bent kun je de volgende exacte waarden proberen als oplossingen van goneometrische functies.
1/2 Ö2
1/2 Ö3
1/2
Als je het andersom moet doen dan kun is het vaak een van de volgende waardes:
p/6
p/3
p/4
p/2
p
of veelvouden van deze waarden.

mod 2p betekent modulo 2p. In de praktijk betekent t dat je er een veelvoud van 2p bij op kan tellen.

Dan B)

Je notatie is niet helemaal duidelijk. Ik neem maar aan dat je lim (x-0) sin²(x)/x bedoelt.
Je kan deze limiet op verschillende manieren aanpakken. Een manier is om de afgeleide te herkennen. Er geldt in het algemeen:
f'(x)=lim (x-a) (f(x)-f(a))/(x-a)
hier is dus f(x)=sin²(x) en de limiet is te schrijven als:
lim(x-0)(sin²(x)-sin²(0))/(x-0)
en die is dus gelijk aan f'(0)=2cos(0)sin(0)=0

Je kunt ook de regel van l'hopital gebruiken (http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html)

groet,

Casper

cz
24-5-2003