WisFaq!

Congruentiekenmerken

Hoe stel ik bewijzen op aan de hand van congruentiekenmerken?

Laurens Dorien
20-5-2003

Antwoord

Hoi,

Er zijn 5 congruentiegevallen waarmee je kunt bewijzen dat twee driehoeken congruent (= gelijk) zijn. Dat wil zeggen, je geeft informatie over een driehoek (zie onderstaande opsomming welke informatie) en laat bijvoorbeeld 5 mensen die driehoek tekenen. Je knipt al deze driehoeken uit en wat blijkt... ze vallen op elkaar!

Twee driehoeken zijn congruent als ze gelijk hebben:

• De drie zijden (ZZZ = 'zijde, zijde, zijde')
  
• Twee zijden en de ingesloten hoek (ZHZ = 'zijde, hoek, zijde')
  
• Een zijde en de twee aanliggende hoeken (HZH = 'hoek, zijde, hoek')
  
• Een zijde, een aanliggende hoek en de overstaande hoek (ZHH = 'zijde, hoek, hoek')
  
• Twee zijden en de rechte hoek tegenover een van de zijden (ZZR = 'zijde, zijde, rechte hoek).

Indien je één van deze congruentiegevallen kunt bewijzen voor beide driehoeken, dan zijn de twee driehoeken gelijk.

Voorbeeld

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

De groene driehoek is congruent aan de blauwe driehoek (versleep punt E of D 'ns, wat valt je op?).
Maar waarom? Eerst en vooral heb ik hier bewust gewerkt met een cirkel. In een cirkel kun je namelijk stralen tekenen, en die zijn gelijk. In het voorbeeld |DM| = |EM|, maar ook |MB| = |MA| (de notatie |..| wil zeggen, de afstand van lijnstuk ..).
Indien we nu nog kunnen bewijzen dat

• nog een zijde van de ene driehoek gelijk is aan de zijde van de andere of
• De ingesloten hoek is in beide driehoeken gelijk
  

(Het geval ZZR is niet te gebruiken, aangezien er geen rechte hoek is)

Nu hangt 't er vanaf welke informatie gegeven is. Indien gegeven is dat de lijnen DA en EB elkaar snijden in M (een tekening kan misleidend werken...) dan kun je gebruik maken van overstaande hoeken, waardoor $\angle$DME = $\angle$BMA, en dan ben je eruit... want
(1) |DM| = |MA| (stralen cirkel)
(2) |EM| = |BM| (stralen cirkel)
(3) $\angle$DME = $\angle$BMA (overstaande hoeken)
Uit (1),(2) en (3) $\Rightarrow$ $\Delta$EMD @ $\Delta$BMA (ZHZ)

Je had het ook anders kunnen aanpakken... Je zou ook gezegd kunnen hebben $\Delta$EMD is gelijkbenig, want |EM|=|DM|, vandaar is $\angle$MED = $\angle$MDE. Ditzelfde geldt voor $\Delta$AMB. Je kunt nu bewijzen dat die driehoeken congruent zijn, d.m.v. ZHH, want |EM| = |MB|, $\angle$MED = $\angle$MBA, $\angle$MDE = $\angle$MAB.
Indien je trouwens wist dat ED // AB en dat de lijn DMA en EMB de evenwijdige lijnen snijdt kon je gebruik maken van Z-hoeken.

Zoals je ziet zijn er verschillende mogelijkheden...

Indien je nog vragen hebt, stel ze gerust.

Davy.

Davy
20-5-2003