WisFaq!

Raakpunt van een ellips

Ik heb vier coordinaten van de eindpunten van de twee assen van een ellips. Wat is de beste methode om de raakpunten van deze ellips met horizontale en verticale raaklijnen bepalen.
Ik wil dit gebruiken in een programmaatje om te bepalen welke kant de een cursorpunt uit moet wijzen bij het "hooveren" over de rand van een ellips.

Voorbeeld coordinaten :
beginpunt hoofd as (1,2)
eindpunt hoofd as (5,6)
beginpunt tweede as (2,5)
eindpunt tweede as (4,3)

Thijs
20-5-2003

Antwoord

Als je het niet erg vindt neem ik een ander voorbeeld: jouw voorbeeld heeft als nadeel dat korte en lange as onder een hoek van 45° met x- en y-as staan.
beginpunt hoofd as (-1,-1)
eindpunt hoofd as (7,3)
beginpunt tweede as (2,3)
eindpunt tweede as (4,-1)



Oplossing:
Bepaal eerst het midden M van de beide assen: M=(3,1)
Nu geldt AM=Ö(MA'²+A'M²)=Ö(4²+2²)=Ö20
en BM=Ö(1²+2²)=Ö5.
Voor de hoek f die de lange as maakt met de horizontale richting geldt:
sin(f)=2/Ö20 en cos(f)=4/Ö20.
Een ellips met halve lange as Ö20 langs de x-as en de halve korte as Ö5 langs de y-as heeft als parametervoorstelling:
x=Ö20*cos(t)

y=Ö5*sin(t)
Als we deze ellips roteren om een hoek f en 3 naar rechts en 1 naar boven opschuiven krijgen we de parametervoorstelling:
x=cos(f)Ö(20)cos(t)-sin(f)Ö(5)*sin(t)+3

y=sin(f)Ö(20)cos(t)+cos(f)Ö(5)*sin(t)+1

Differentieren levert:
x'=-cos(f)Ö(20)sin(t)-sin(f)Ö(5)*cos(t)

y'=-sin(f)Ö(20)sin(t)+cos(f)Ö(5)*cos(t)

Voor een verticale raaklijn moet gelden:
x'=0 dus
-cos(f)Ö(20)sin(t)-sin(f)Ö(5)*cos(t)=0, hieruit volgt
tan(t)=-(sin(f)Ö(5))/(cos(f)Ö(20))
dus geldt t=arctan(-(sin(f)Ö(5))/(cos(f)Ö(20)))
dit vul je in in de parametervoorstelling en je hebt een punt met verticale raaklijn gevonden. Het tweede punt met verticale raaklijn ligt dan puntsymmetrisch t.o.v. M.

Voor een horizontale raaklijn moet gelden: y'=0
dit levert t=arctan((cos(f)Ö(5))/(sin(f)Ö(20)))
In het algemene geval kun je die Ö5 en Ö20 in het hele verhaal vervangen door de lengte van de halve lange en korte as.

hk
23-6-2003