WisFaq!

Gegeven twee cirkels, gevraagd vergelijkingen van cirkels door de snijpunten

Ik heb twee cirkels:
x²+y²+2x+6y-7=0 en x²+y²-1=0
Er wordt gevraagd naar de vergelijkingen van de cirkels die ook door de snijpunten van deze twee cirkels gaan en tevens raken aan y=x

Tot zover ben ik gekomen:
Vergelijkingen door de snijpunten van deze twee cirkels worden gegeven door:
labda(x²+y²+2x+6y-7)+ mu(x²+y²-1)=0
Omdat de gevraagde cirkels raken aan x=y dacht ik x=a en y=a te kunnen invullen. Je krijgt dan uiteindelijk
(2labda+2mu)a²+ 8 labda a- (7labda +mu)=o
Hoe kom ik verder of zit ik nu totaal verkeerd?

Brechtje Blok
19-5-2003

Antwoord

om mezelf een idee te vormen welke cirkels het betreft herschrijf ik eerst de formules:
cirkel 1: x² + y² = 1
cirkel 2: (x+1)² + (y+3)² = 7+1+9 = 17
ik weet nu dat het de eenheidscirkel betreft en de de cirkel met als middelpunt (-1,-3) en als straal Ö17.

cirkels die ook door deze punten heengaan hebben het middelpunt liggen op de middelloodlijn van de snijpunten van de gegeven cirkels. Deze middelloodlijn wordt beschreven door de vergelijking y=3x en kan gevonden worden door te beseffen dat de gegeven middenpunten (0,0) en (-1,-3) beide ook op deze lijn moeten liggen...

Gevraagd wordt dus om beschrijvingen te geven van cirkels waarvan het middelpunt ligt op de lijn y=3x en die raken aan de lijn y=x. Er zijn nu twee manieren om verder te gaan met de opgave.
Je kunt een willekeurig punt op de lijn y=x beschouwen en de afstand berekenen tot de lijn y=3x OF
Je kunt een willekeurig punt op de lijn y=3x beschouwen en de afstand berekenen tot de lijn y=x...

Ik volg de tweede methode: Ik neem dus een willekeurig punt (X,3X). Als X positief is leert een tekening me dat om de afstand te berekenen van deze lijn tot de lijn y=x ik schuin (met rc -1) naar rechtsonder dien te gaan totdat ik de bewuste lijn y=x snijd.
Als ik vanuit het punt (X,3X) met rc -1 beweeg worden de nieuwe coordinaten (X+d,3X-d).
Dit punt ligt op de lijn y=x als 3X-d=X+d) oftewel als X=d. De coordinaten van het gezochte punt worden dan (2X,2X).
De afstand van de twee genoemde punten, (X,3X) & (2X,2X), wordt berekent met pythagoras.
afstand²=(X-2X)²+(3X-2X)²=2X². Deze afstand is gelijk aan de straal van de gezochte cirkel.

De cirkels worden nu gegeven door een willekeurige X te kiezen en de (x,y) koppels te laten voldoen aan de volgende vergelijking: (x-X)²+(y-3X)²=2X²

MvdH
19-5-2003