WisFaq!

Differentieren

Hoe differentieer ik de volgende functie f(x)=a*xe^-x Dinsdag heb ik examen en ik dit snap ik niet helemaal. De vraag erbij is bereken de rc van de raaklijn in het punt x=0 alvast heel erg bedankt oh ja en volgens het antwoordenboek is de rc a dat snap ik niet kunt u het uitleggen groeten Ronald

Ronald Tepper
18-5-2003

Antwoord

Begin eens met de functie te 'ontleden' in kleinere, eenvoudigere stukjes. Bij het differentiëren gaat het erom dat je kijkt welke stukjes je hebt met een 'x'erin: deze stukjes zijn ieder op zich 'functies van x' (je stop er een x in en je krijgt er een y, of een f(x) voor terug)
Je ziet dan eerst een a, zo geven we normaalgesproken een constante weer: geen functie van x dus.
Vervolgens een x: wel een x, we nemen de a hier bij voor het gemak (we mogen hem per slot van rekening niet laten zitten!) en je hebt een functie g(x) = a*x gevonden
En tenslotte staat er e^-x: wederom een functie van x en deze noem je h(x).
Als je nu g(x) en h(x) vermenigvuldigt krijg je g(x)*h(x) = a*x * e^-x en dit is precies f(x): mooi, we zijn onderweg niks kwijtgeraakt.
Tot zover duidelijk?
Dan kunnen we f(x) nu gaan differentiëren. Een veelgebruikte regel is de produktregel en die luidt als volgt:
(gh)'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
Om de afgeleide (de gedifferentieerde functie) te bepalen van een combinatie van functies moet je dus eerst de ene differentiëren, vermenigvuldigen met de andere en vervolgens de andere differentiëren en vermenigvuldigen met de ene. Bij elkaar optellen en je bent klaar!
g(x) = a*x
g'(x) is dan dg/dx (g differentiëren naar x)= a
h(x) = e^-x
h'(x) is dh/dx (h differentiëren naar x) = e^-x*-1
Alles bij elkaar uitgeschreven (uitgetikt) wordt het:
f'(x) = (gh)'(x) = a*e^-x+ a*x*e^-x*-1 = a*e^-x- a*x*e^-x = a*e^-x(1-x)
Als je x = 0 invult, dan zie je dat er van de e-macht een 1 overblijft en van de (1-x) ook: a*1*1 = a. Dus op deze manier kom je aan het antwoord in je boek.
Maar waarom is dat nu de rc van de raaklijn? Dat is iets wat je waarschijnlijk ooit bij de wiskundeles wel eens voorbij hebt zien komen. Ik hintte hierboven al dat een f(x) ook wel eens geschreven wordt als y. Als je nu f gaat differentiëren naar x, schrijf je df/dx, oftewel dy/dx. En wat was ook al weer de definitie van een rc van een lijn? Juist: het verschil (denk maar aan de d van het engelse difference!) van de y-waarden van 2 punten delen door het verschil van de x-waarden van 2 punten.
Je had een korte vraag en het is een lang antwoord, maar ik hoop dat het zo wat duidelijker is geworden. Het gaat er bij deze opgave vooral om dat je
1) de structuur van de functie doorziet,
2) de produktregel weet,
3) de afgeleides van de (relatief eenvoudige) functies a*x en e^xkent en
4) weet dat je met het invullen van een x-waarde in de afgeleide functie de rc van de raaklijn in dat punt kan berekenen.

Veel succes met je examen!

Emma
18-5-2003