WisFaq!

Inverse 4x4 matrix

Ondanks het lezen van andere vragen , zoals inverse 3x3 matrix, kom ik er niet uit.
Ik moet een inverse berekenen van de volgende matrix:
[8100]
[1410]
[0212]
[0011]
Op mijn rekenmachine kan ik wel een antwoord krijgen, maar ik heb geen idee hoe ik er zelf op moet komen. Ik heb het geprobeerd via tips op wisfaq in andere vragen.
Ik hoop dat ik het verkeerd intik op mijn rekenmachine, maar ik ben bang dat ik het principe van een inverse niet begrepen heb.
Hopelijk kan iemand mij helpen.
MVG Annemieke

Annemieke
18-5-2003

Antwoord

Ik ga even een korte samenvatting geven en dan moet je maar vragen stellen bij de dingen die onduidelijk zijn.

Op een matrix kan je wat men noemt "elementaire rij-operaties" uitvoeren. Er zijn drie types operaties

* twee rijen omwisselen
* een rij vermenigvuldigen met een getal
* een rij vermeerderen met een veelvoud van een andere rij

Je kan aantonen dat het uitvoeren van zo een operatie op een matrix ook kan gelijk gesteld worden met het linksvermenigvuldigen van die matrix met een of andere speciale matrix.

Voorbeeld: Verwissel in de eenheidsmatrix twee rijen en noem deze matrix P. Als je nu P.A berekent, dan zie je dat het resultaat van deze vermenigvuldiging gewoon het verwisselen in A van dezelfde twee rijen als resultaat heeft.

Neem nu van mij aan dat ook de andere rij-operaties kunnen voorgesteld worden door bepaalde matrices. Daar kom ik later op terug.

Je weet ook dat een vierkante matrix die niet singulier is door een opeenvolging van rij-operaties kan herleid worden tot de identiteitsmatrix. (Als je hem kan herleiden tot een bovendriehoeksmatrix, zie je ook wel in dat je hem nog verder kan herleiden tot de identiteitsmatrix.)

En nu komt de clou. Stel nu dat we de rijen van de matrix wat langer maken. We plaatsen er meer bepaald de eenheidsmatrix achter en noemen de nieuwe matrix B, symbolisch B=[A|I].

Als we nu op B een hele reeks rij-operaties uitvoeren tot we de eenheidsmatrix bekomen, hebben we dus eigenlijk

Q.A = I (1)

waarin Q het produkt is van alle matrices die zo een rij-operatie voorstellen. We hebben ook

I.Q = C (2)

met C een of andere matrix die na het doorvoeren van de rij-operaties in de rechterhelft zal verschijnen. Uit de eerste vergelijking volgt echter dat Q = A^-1, zodat dan uit de tweede volgt dat ook C = A^-1.

Conclusie: zet naast een matrix de identiteitsmatrix, herleid de eerste tot een identiteitsmatrix (en voer tegelijkertijd dezelfde operaties uit op de andere helft) en je bekomt uiteindelijk [I|A^-1] en dus de inverse van de oorspronkelijke matrix.

cl
19-5-2003