WisFaq!

Berekenen van de middelpuntsvergelijking

Hallo,
Ik ben bezig met analytische meetkunde en kom bij een aantal opdrachten niet helemaal uit.

In een assenstelsel is gegeven: het middelpunt van een cirkel ligt op lijn Y=3X en gaat door (0,0). De poollijn van het punt (1,1) gaat door (9,-4). Bereken de middelpuntsvergelijking van de cirkel.

Tot zo ver ben ik gekomen maar ik weet niet of ik de goede kant opga:

De raaklijn door (0,0) aan de cirkel is Y= -¹/₃X en kan ook berekend worden met de formule voor een raaklijn aan een cirkel (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2 met (x0,y0) = (0,0)
Ik heb op allerlei manieren geprobeerd dit op te lossen, formules voor a en b proberen te krijgen en die in een zelfde formule maar dan met (x0,y0) = (9,-4) om zo de vergelijking van de poollijn te kunnen vinden. Dit is me tot nu toe op geen manier gelukt en ben al een paar dagen bezig. Help!

Groetjes Brechtje.

Brechtje Blok
16-5-2003

Antwoord

Noem het middelpunt van de cirkel (a, 3a)
De straal kun je dan ook uitrekenen: aÖ10
De vergelijking van de cirkel wordt:
(x-a)² + (y-3a)² = 10a²
de vergelijking van de poollijn van (1,1) wordt dan:
(x-a)·(1-a) + (y-3a)·(1-3a) = 10a², ofwel:
(1-a)x + (1-3a)y = 4a.
Deze moet door (9,-4) gaan, waaruit volgt: a=5.

groet,

Anneke
16-5-2003